ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 5 16 décembre 2016
3 exercices au choix ; les deux premiers exercices sont réservés Exercice I.
1. Calculer les limites : a. lim
x→+∞
e−4x+ 1 ln(x)
b. lim
x→−∞
√x2−5x+x
2. Calculer A= 24
19
. 3. Calculer et simplier B =
n
X
k=0
k 2n−k
n k
.
Exercice II.
Soit la suite(un)n∈N dénie paru0= 2 et∀n∈N, un+1 = ln(u2n+ 1). On rappelle queln(5)'1.6
1. Calculer u1 etu2.
2. Montrer que ∀n∈N, 0≤un≤2.
3. Etudier les variations de la fonction f dénie par f(x) =x−ln(x2+ 1).
4. En déduire quef est positive surR+.
5. Montrer que la suite(un)n∈N est décroissante.
6. Est-elle convergente ? Justier.
Exercice III.
Un core-fort est protégé par un cadenas à code.
Le cadenas est constitué de 6 roues comportant chacune les chires de 1 à 9.
Un code pour le cadenas est donc un nombre constitué de 6 chires, chacun d'entre eux provenant d'une des roues.
(Les réponses aux questions suivantes devront être précisément justiées.) 1. Combien y a-t-il de codes possibles ?
2. Combien y a-t-il de codes comportant au moins un chire 1 ?
3. Combien y a-t-il de codes comportant quatre fois le chire 1 et deux fois le chire 2 ? 4. Combien y a-t-il de codes comportant exactement quatre fois le chire 1 ?
5. Combien y a-t-il de codes comportant au moins trois fois le chire 1 ?
1/1
