ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 8

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5 février 2021

Exercice I.

Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes.

— La proportion de boules blanches estb.

— La proportion de boules rouges estr.

— La proportion de boules vertes estv.

Ainsi, on a 0< b <1, 0< r <1, 0< v <1 avec b+r+v= 1.

On effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête au premier changement de couleur.

∀i∈N^∗, on noteBi(resp.Ri, resp.Vi) l’événement{lai-ème boule tirée est blanche (resp. rouge, resp. verte)}.

On noteXla variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

Par exemple, lorsque le résultat des tirages estV1,V2,B3, la variable aléatoireX prend la valeur 3.

Partie A.

1. Préciser les valeurs possibles deX.

2. Montrer que ∀k∈N\ {0,1}, P(X =k) = (1−b)b^k−1+ (1−r)r^k−1+ (1−v)v^k−1 3. Montrer que la variable aléatoireXadmet une espérance et que E(X) = 1

1−b+ 1

1−r+ 1 1−v−2. 4. Si possible, calculerV(X).

Partie B.

On considère la fonctionf de classeC²sur]0,1[²définie par ∀(x, y)∈]0,1[², f(x, y) = 1

1−x+ 1

1−y + 1 x+y. 1. Calculer, pour tout(x, y)∈]0,1[², ∂1f(x, y) et ∂2f(x, y).

2. Montrer qu’il existe un unique point I de ]0,1[² en lequel f est susceptible de posséder un extremum local et déterminerI.

3. Montrer quef admet enIun minimum local.

4. a. ExprimerE(X)en fonction def(b, r).

b. Que peut-on dire deE(X)lorsqueb=r=v= 1 3?

Exercice II.

1. SoitU une variable aléatoire à densité suivant une loi normale d’espérance nulle et de variance 1 2 a. Rappeler une densité deU.

b. En utilisantV(U), montrer que l’intégraleI= Z +∞

0

x²e^−x2dxest convergente et vaut

√π 4 .

SoitF la fonction définie sur Rpar F(x) =

( 0 , si x60 1−e^−x2 , si x >0 . 2. a. Montrer queFest la fonction de répartition d’une v.a. à densité.

(remarque :F est définie comme une simple fonction, et on ne sait pas queF est une fonction de répartition. Il est donc ici nécessaire de déterminer aussi ses variations et ses limites.)

b. Déterminer une densitéf associée àF.

3. SoitX une variable aléatoire admettantf pour densité.

a. Montrer queXadmet une espéranceE(X)et queE(X) =

√π

2 . b. Déterminer, pour tout réely,la probabilitéP X²≤y

.On distinguera les casy≤0ety >0.

c. Montrer que la variable aléatoireX²suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

En déduire queX admet une varianceV(X)et la calculer.

ECE 2 1/1 Lycée François Couperin