ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 2
18 octobre 2019
Exercice I.
Vérifier la linéarité des applications suivantes, et déterminer leur noyau et leur image.
1. f : R3 −→ M2(R)
(x, y, z) 7−→ x−y y−z z−x x−y
!
2. f : RN −→ RN
(un)n∈N 7−→ (vn)n∈N
avec vn=un+1−2un
Exercice II.
Donner un équivalent simple deundans les cas suivants, ainsi que (si elle existe) la limite de la suite(un)n∈N: 1. un= nn
(n+ 1)n+1 2. un=nln
2−en3
Exercice III.
Soit(un)la suite définie par u0= 1 et ∀n∈N, un+1=√ n+un. 1. Montrer que ∀n∈N∗, 06un6√
2n.
2. En déduire que un∼√ n. 3. Montrer que un=√
n+1
2 +◦(1).
Exercice IV.
A tout triplet(a, b, c)∈R3, on associe la matriceM(a, b, c)définie par M(a, b, c) =
a a a 0 b b 0 0 c
. On désigne parEl’ensemble des matricesM(a, b, c)oùa,b,csont des réels. Ainsi, E=
M(a, b, c) | (a, b, c)∈R3 . A. Recherche d’une base deE
1. Montrer queEest un s.e.v. deM3(R).
2. Donner une base deEainsi que sa dimension.
B. Cas particulier de la matriceM(1,1,1)
On poseJ=M(1,1,1)−I3, la matriceI3représentant la matrice unité deM3(R).
1. Calculer les matricesJ2etJ3, puis en déduire, sans démonstration, l’expression deJn, pour tout entiern>3. 2. Montrer que pour tout entier natureln>2, (M(1,1,1))n=I3+nJ+n(n−1)
2 J2. L’écriture obtenue est-elle encore valable pour les entiersn= 0etn= 1?
3. En déduire l’écriture matricielle de(M(1,1,1))n. C. Cas particulier de la matriceM(1,1,2)
On notefl’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique deR3est la matriceM(1,1,2). On définit la famille de vecteurs C= (~u, ~v, ~w) par ~u= (1,0,0), ~v= (0,1,0), w~ = (2,1,1).
1. Démontrer queCest une base deR3. 2. Calculerf(~u)etf(w)~ en fonction de~uetw~.
3. Exprimerf(~v)comme combinaison linéaire des vecteurs~uet~v. En déduire la matriceT defdans la baseC.
4. Montrer que ∀n∈N, Tn=
1 n 0
0 1 0
0 0 2n
.
5. On note R=
1 0 −2 0 1 −1
0 0 1
. CalculerR−1et montrer que l’on aM(1,1,2) =RT R−1. 6. Sans l’expliciter, écrire[M(1,1,2)]nen fonction den,R,R−1,T.
ECE 2 1/?? Lycée François Couperin
