ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 8 - A
24 février 2020
Faire deux exercices au choix
Exercice I.
Une urne contient des boules vertes et des boules blanches, indiscernables au toucher.
La proportion de boules vertes estp∈]0; 1[. La proportion de boules blanches est1−p. On effectue une suite de tirages successifs d’une boule avec remise.
1. On noteNV la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule verte, etNB
la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche.
a. Quelles sont les lois des variables aléatoiresNV etNB? b. Les variables aléatoiresNV etNBsont-elles indépendantes ?
On définit les v.a.XetY comme étant les longueurs respectives des première et deuxième séries de couleurs.
On a donc par exemple [X = i] = {lesipremières boules tirées sont blanches et la suivante est verte, ou les i premières boules tirées sont vertes et la suivante est blanche}.
Par exemple, pour la suite de tiragesBBBV V BV BB· · ·, on aX = 3etY = 2.
2. a. Déterminer la loi de la variable aléatoireX.
b. Montrer que la variable aléatoireXadmet une espérance et que E(X) = p
1−p+1−p p . c. Montrer queE(X)est minimale lorsquep=1
2, et calculer cette valeur minimale.
3. Montrer que ∀(i, j)∈(N∗n)2, P([X =i]∩[Y =j]) =pi+1(1−p)j+ (1−p)i+1pj.
(On fera apparaitre les formules littérales, en donnant des noms classiques aux évènements élémentaires.) 4. a. En déduire la loi de la variable aléatoireY.
b. Montrer que la variable aléatoireY admet une espérance que l’on calculera.
5. a. Etablir que sip6=1
2, les v.a.XetY ne sont pas indépendantes.(On pourra envisagerP([X= 1]∩[Y = 1]).) b. Démontrer que sip=1
2, les variables aléatoiresXetY sont indépendantes.
Exercice II.
On considère la fonctionf définie sur l’ouvertU =]0; +∞[×]0; +∞[par f(x, y) =x2ln(y)−yln(x). 1. On notegla fonction définie sur]0; +∞[par g(t) = 4t2−2tlnt−1.
a. Justifier quegest de classeC2sur]0; +∞[, et calculerg0(t)etg00(t)pourt >0. b. Etudier les variations deg0sur]0; +∞[puis celle degsur]0; +∞[.
c. En déduire que l’équationg(t) = 0admet une unique solution notéeα. d. Vérifier que ln(α) = 2α− 1
2α. 2. a. Montrer quefest de classeC2surU.
b. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 def.
c. En déduire que si(x0, y0)est un point critique def , alorsx0>1ety0= (x0)2 ln(x0). d. Etablir alors queg(ln(x0)) = 0.
En déduire quef possède un unique point critique, de coordonnées
eα,e2α α
, oùαest le réel défini au1.c.
3. a. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 def.
b. En utilisant la relation de la question1.d., montrer que 2 ln(y0) + y0
(x0)2 = 2 α. En déduire que la fonctionf ne présente pas d’extremum.
ECE 2 1/2 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 8 - A
24 février 2020
Exercice III.
Dans cet exerciceRdésigne un réel fixé strictement positif et on considère la fonctionf définie surRpar :
f(t) = 0 sit /∈[0 ;R]
f(t) = 2t
R2 sit∈[0 ;R]
1. a. Étudier la continuité def.
b. Montrer quefest une densité de probabilité.
On note dans toute la suiteXune variable aléatoire réelle de densitéf.FXdésigne sa fonction de répartition.
2. a. Déterminer la valeurFX(x)lorsquex <0, puis lorsquex > R.
b. Montrer que pour tout réelxde[0 ;R],FX(x) = x2 R2. 3. a. Montrer queXadmet une espérance et queE(X) = 2R
3 . b. Montrer queXadmet une variance et queV (X) = R2
18.
Dans toute la suitendésigne un entier naturel non nul etX1, X2, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes et de même loi queX. On cherche à estimer le réelRà l’aide deX1, X2, . . . , Xn.
4. On noteTn= 3 2n
n
X
k=1
Xk, et on cherche à estimerRavecTn.
Montrer queTnest un estimateur sans biais deRet calculer son risque quadratique notér(Tn).
5. On noteMnla variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variablesX1, X2. . . Xn. a. Montrer que pour tout réelx,P (Mn≤x) = (FX(x))n. En déduire la fonction de répartition deMn, puis
montrer queMnest une variable aléatoire à densité.
b. Montrer qu’une densité possible deMnest la fonctiongndéfinie surRpar :
gn(t) = 2nt2n−1
R2n sit∈[0 ;R]
gn(t) = 0 sit /∈[0 ;R]
c. Montrer queMnadmet une espérance et une variance, et que :
E(Mn) = 2n
2n+ 1R et V(Mn) = n
(n+ 1) (2n+ 1)2R2
d. On cherche à estimerRavecMn:
Calculer le biais deMn, notéb(Mn), et son risque quadratique notér(Mn). 6. a. Déterminer un équivalent simple lorsquentend vers+∞deb(Mn)etr(Mn).
b. Quels sont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateursTnetMn?
ECE 2 2/2 Lycée François Couperin
