Contrôle : trigonométrie, probabilités

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Contrôle : trigonométrie, probabilités

E 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on a représenté ci-dessous le cercle trigonométrique.

1. (a) Placer sur le graphique ci-dessus les points correspondant aux nombres

0, π

, π

, π

, 3π

, 9π

, 2π

, −5π

(b) Donner les valeurs exactes de

cos (2π

3 )

et sin (2π

3 )

2. (a) À l'aide du cercle ci-dessus, résoudre dans l'intervalle ]−π;π] l'équation cosx=1

2.

(b) Toujours à l'aide du graphique, résoudre l'équation précédente sur l'intervalle [0 ; 2π].

3. À l'aide du cercle ci-dessus, résoudre dans l'intervalle ]−π;π] l'équation sinx=1

2.

E 2

Une enquête est réalisée par SMS. Lorsque l'abonné répond à l'enquête, il parti- cipe automatiquement à un tirage au sort et gagne 30 minutes de communication une fois sur six, 20 minutes une fois sur trois et sinon 10 minutes.

X est la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de minutes gagnées.

1. (a) Calculer l'espérance de la variable aléatoire X. (b) Que représente cette espérance ?

2. L'enquête concerne maintenant les adolescents. On remplace alors chaque mi- nute de communication gagnées par 5 SMS auxquels s'ajoutent 20 SMS pour tous.

est la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de SMS gagnés.

(a) Exprimer la variable aléatoire Y en fonction X. (b) En déduire l'espérance de la variable aléatoire Y.

E 3

Une expérience aléatoire est simulée par l'algorithme ci-dessous :

DEBUT

d ← EntierAleatoireEntreBornes(1,6) D ← EntierAleatoireEntreBornes(1,6) si d−D=1 ou D−d=1 alors

X ← 3 sinon

X ← −2 finsi

FIN

1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer l'espérance mathématique de X.

3. On considère que X correspond au gain algébrique d'un joueur. On garde pour les cas d'échecs la valeur X= −2. Déterminer la deuxième valeur de X à partir de laquelle le jeu est favorable au joueur.

E 4

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. Un joueur tire successive- ment et sans remise deux boules de l'urnes. Soit x un réel positif. Lors de chacun des deux tirages, le joueur gagne x euros s'il obtient une boule rouge et perd 2 euros s'il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en euro au terme des deux tirages.

1. Justifier que G (Ω)={2x;x−2 ;−4}.

2. Exprimer l'espérance E (G) en fonction de x.

3. Pour quelle valeur de x a-t-on E (G)⩾⁰? Interpréter votre résultat par une phrase.

E 5

On considère une urne contenant une boule rouge, deux boules noires et trois boules jaunes. On effectue des tirages successifs jusqu'à ce qu'il ne reste plus dans l'urne que deux couleurs différentes.

1. Combien doit-on faire de tirages en moyenne ?

.

Correction

E 1

1. (a)

0 π/2

π/4, 9π/4 π/3

−5π/4, 3π/4 2π/3

−5π/2

-0.5 0.5

(b) Vu les symétries du cercle, et connaissant les cosinus et sinus de _π/3, on en déduit aisément

cos (2π

3 )

= −1

2 et sin

(2π 3

)

= p3

2 .

2. (a)

0.5 cos

−π π

π/3

−π/3 Résolution sur [−π ; π]

+

On lit sur le cercle trigonométrique les solutions de l'équation. On trouve ainsi 2 solutions sur ]−π;π]) : π/3 et −π/3.

(b)

0.5 cos

0 2π π/3

5π/3 Résolution sur [0 ; 2π]

+

De même, on trouve 2 solutions sur _{[0 ; 2π]} : _π/3 et _5π/3.

3. De la même façon, on trouve les 2 solutions sur ]−π;π] de l'équation sinx=

0.5 sin

−π π

π/6 5π/6

Résolution sur [−π ; π]

+

E 2

1. (a)

x_i 30 20 10

P (X=x_i) 1 6

1 3

1 2

E (x)=30×1

6+20×1

3+10×1 2=50

3 ≈16, 67.

(b) E (X) représente le nombre de minutes gagnées en moyenne par abonné.

2. (a) Y=5X+20. (b) E (Y)=5×50

3 +20=310

3 ≈103, 33.

E 3

1.

1 2 3 4 5 6

1 0 −1 −2 −3 −4 −5

2 1 0 −1 −2 −3 −4

3 2 1 0 −1 −2 −3

4 3 2 1 0 −1 −2

5 4 3 2 1 0 −1

6 5 4 3 2 1 0

On obtient alors :

xi −2 3

P (X=x_i) 26 36

10 36

2. E (X)= −2×26

36+3×10

36 = −11

18 ≈ −0, 61. 3. ₋2×26

36+x×10

36⩾⁰ ⇐⇒ x⩾²⁶ 5 .

E 4

1. Les valeurs possibles de G sont :

□

□

□ 2x si deux boules rouges sont tirées ;

□

□

□ x−2 si une boule rouge et une boule noire sont tirées ;

□□

□ −4 si deux boules noires sont tirées.

On a donc G (Ω)={2x;x−2 ;−4}.

2. On commence par déterminer la loi de G (en faisant un arbre par exemple) :

xi 2x x−2 −4

P (X=x_i) 6 20

12 20

2 20

E (G)=2x× 6

20+(x−2)×12

20−4× 2

20=6x−8 5 . 3. ^6x−8

5 ⩾⁰ ⇐⇒ x⩾⁴ 3 Pour x⩾⁴

3 le jeu est favorable au joueur.

E 5

On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour qu'il ne reste que deux couleurs. On détermine la loi de X à l'aide d'un arbre pondéré.

R

1

6 N

2 6

1 R

5

N

1 5

J

3 5

1 R

4

N

1 4

J

2 4

1 R

3

N

1 3

J

1 3

J

3 6

1 R

5

N

2 5

1 R

4

N

1 4

J

2 4

1 R

3

N

1 3

J

1 3

J

2

5 ¹₄ R

N

2 4

1 R

3

N

1 3

J

1 3

J

1 4

xi 1 2 3 4

P (X=x_i) 1 6

7 6×5

36 6×5×4

108 6×5×4×3