1S Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
.
Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
.E 1
.. correction ( 4 points )Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse etjustifier (aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée).
1. Étant donné deux nombres a et b, si cos (a) = cos (b), alors cos (2a)= cos (2b).
2. Étant donné des points A, B, C et D, si (−−→
AB ;−−→
CD ) = 14π
3 (2π), alors (−−→
AB ;−−→
DC )= −π 3 (2π).
3. Étant donné deux nombres a et b, si sin (a) = sin (b), alors sin (2a) = sin (2b).
4. Étant donné des points A B, C, D, E et F, si (−−→
AB ;−−→
CD )= 3π
4 (2π) et (−→
EF ;−−→
CD )=5π
4 (2π), alors les vecteurs −−→AB et −→EF sont colinéaires.
E 2
.. correction ( 3 points )On considère la fonction f définie sur R dont une partie de la courbe représen- tative Cf est donnée ci-contre.
La fonction f est dérivable sur R.
Les droites T1 et T2 sont des tangentes à Cf . 1. Déterminer graphiquement f′(−3) et f′(0) :
2. Déterminer une équation de T1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
1 2 3
−1
−2
−3
−4 0
b b
T1
T2
Cf
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E 3
.. correction ( 13 points ) On considère l'intervalle I=]−1;+∞[.1. On considère la fonction f définie sur I par : f(x)= 1
p1+x
(a) Montrer que pour tous réels positifs a et b, a−b=(p a+p
b )(p
a−p b
).
(b) Déterminer le taux d'accroissement, f (0+h)−f(0)
h , de f en 0.
(c) Montrer que f est dérivable en 0 et déterminer la valeur du nombre dérivé de f en 0.
(d) En déduire l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f en son point d'abscisse 0.
2. (a) D'après le cours, dire qu'une fonction f est dérivable en a signifie qu'il existe un nombre que l'on note f′(a) tel que
h→0lim
f (a+h)−f (a)
h =f′(a) . Ainsi, on a, lorsque h est « petit »,
f (a+h)−f (a)
h ≈f′(a) .
En déduire que, lorsque h est « petit », f (a+h)≈f (a)+h f′(a).
(b) Dans la théorie de la relativité d'Albert Einstein (1879 -- 1955), l'énergie cinétique d'un corps en mouvement est donnée par la formule :
Ec=(γ−1)m0c2 avec γ=√ 1 1−vc22
où c est la vitesse de la lumière, v la vitesse du corps et m0 la masse du corps au repos.
Lorsque la vitesse v est très petite devant c et que donc le rapport v
2
c2 est proche de 0, expliquer comment on peut retrouver, à partir de la formule d'Einstein, la formule donnée dans théorie galiléenne :
Ec=1 2m0v2
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.
Correction
.E 1
.. énoncé1. La proposition est vraie.
cos (a)=cos (b) =⇒
a=b+2kπ, k∈Z ou
a= −b+2kπ, k∈Z
=⇒
2a=2b+4kπ, k∈Z ou
2a= −2b+4kπ, k∈Z
=⇒
cos (2a)=cos (2b+4kπ) , k∈Z ou
cos (2a)=cos (2b+4kπ) , k∈Z
=⇒
cos (2a)=cos (2b) ou
cos (2a)=cos (−2b)
=⇒ cos (2a)=cos (2b) car∀x∈R,cos (x)=cos (−x).
2. La proposition est vraie.
(−−→
AB ;−−→
DC ) = (−−→
AB ;−−−→CD ) (2π)
= π+(−−→
AB ;−−→
CD ) (2π)
= π+17π 3 (2π)
= 17π 3 (2π)
= −π 3 (2π) 3. La proposition est fausse. Avec a = π
6 et b = 5π
6 , sin (a) =sin (b) mais sin (2a)=sin
(π 3
)= p3
2 et sin (2b)=sin (5π
3 )
= − p3
2 . 4. La proposition est fausse.
(−−→
AB ;−→
EF ) = (−−→
AB ;−−→
CD )+(−−→
CD ;−→
EF ) (2π)
= 3π 4 −(−→
EF ;−−→CD ) (2π)
= 3π 4 −5π
4 (2π)
= −π 2 (2π)
E 2
.. énoncé1. f′(−3)=5
3 et f′(0)=1 3. 2. y=5
3x+4.
E 3
.. énoncé1. (a) (pa+p b
)(p a−p
b
)=a−b.
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(b) Pour tout h̸=0 et h> −1 : f (0+h)−f (0)
h =
p 1
1+h− 1 p1 h
= 1−p 1+h hp
1+h
= (
1−p 1+h
)(
1+p 1+h
) hp
1+h (
1+p 1+h
)
= 1−1−h hp
1+h (
1+p 1+h
)
= − 1
p1+h (
1+p 1+h
)
(c) On admet que lim
h→0
p1+h=1, on obtient alors
h→0lim
f (0+h)−f (0)
h = −1
2. f est donc dérivable en 0 et f′(0)= −1
2. (d) y= −1
2x+1.
2. f (a+h)≈f (a)+h f′(a).
3. D'après ce qui précède pour a=0 et h petit f (h)≈f (0)−1
2h donc p 1
1+h ≈1−1 2h.
En posant h= −v2
c2 (lorsque v est petite par rapport à la vitesse de la lumière h
est donc petit) on obtient : γ= 1
√ 1−v2
c2
≈ 1−1 2×
(
−v2 c2 )
≈ 1+1 2
v2 c2
.
On a alors
Ec=( γ−1)
m0c2 ≈ (
1+1 2
v2 c2−1
) m0c2
≈ 1 2m0v2
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