Contrôle de Mathématiques sur les Nombres Complexes

Contrôle de Mathématiques sur les Nombres Complexes

15/12/2020 1h - Calculatrice autorisée

EXERCICE 1 11 pts

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1) On considère 𝑧 = 3 + 𝑖 √3.

Affirmation 1

Pour tout entier naturel non nul 𝑛, 𝑧^3𝑛 est un imaginaire pur.

2) 𝑧 est un nombre complexe non nul.

Affirmation 2 Si ^𝜋

2 est un argument de 𝑧, alors : |1 + 𝑧| = 1 + |𝑧|.

3) 𝑧 est un nombre complexe non nul.

Affirmation 3

Si le module de 𝑧 est égale à 1, alors 𝑧²+ ¹

𝑧² est un nombre réel.

4) Affirmation 4

L’équation 𝑧 − 𝑖 = −𝑖(𝑧 − 1) a pour solution √

2𝑒

^𝑖𝜋4. 5) Affirmation 5

Pour tout réel 𝑥 ∈

] −

^𝜋

2

;

^𝜋

2

[

, le nombre complexe 1 + 𝑒^2𝑖𝑥 admet pour forme exponentielle 2 cos(𝑥) 𝑒^−𝑖𝑥.

6) Affirmation 6

Le nombre complexe 2 −

𝑒

^−𝑖𝜋5 a pour module 1.

7) Affirmation 7

Le nombre complexe

3 − (2 cos (

^𝜋

7

) + 2𝑖 sin (

^𝜋

7

))

a pour forme exponentielle

𝑒

^{−𝑖𝜋7.}

8) Affirmation 8

La forme exponentielle du nombre complexe 10 − 10𝑖 est 10

𝑒

^{−𝑖𝜋4.}

9) Affirmation 9

−5

𝑒

^𝑖𝜋6 est la forme exponentielle d’un nombre complexe.

10) (𝑧_𝑛) est une suite géométrique de raison

𝑒

^{𝑖3 𝜋2} telle que 𝑧₀ = 2 𝑖.

Affirmation 10

𝑧₈ est un nombre imaginaire pur.

11) On a ^{19 𝜋}

12

=

^{5 𝜋}

4

+

^𝜋

3. Affirmation 11

cos (19 𝜋

12 ) = √2(√3 − 1) 4

EXERCICE 2 4 pts

On donne 𝑧 = −2

𝑒

^𝑖𝜋4.

1) Écrire 𝑧 sous forme algébrique.

2) Écrire 𝑧 sous forme exponentielle.

3) Choisir la forme la plus adaptée pour calculer le plus rapidement possible chacun des nombres : 𝐴 = 𝑧⁸ 𝐵 = (𝑧 + 𝑧 ̅)² 𝐶 = (𝑧 + 𝑖 √2)²

EXERCICE 3 5 pts

Soient deux nombres complexes 𝑧₁ et 𝑧₂ tels que

𝑧₁ = 4 √2𝑒^−𝑖𝜋4 𝑒𝑡 𝑧₂ = −1 − 𝑖 √3 1) Déterminer la forme algébrique de 𝑧₁.

2) Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle de 𝑧₂. 3) En déduire les formes algébrique et exponentielle de ^𝑧1

𝑧₂. 4) En déduire les valeurs de

cos (

^5𝜋

12

)

et

sin (

^5𝜋

12

)

. 5) Deux modèles 𝑚₁ et 𝑚₂ de calculatrice donnent :

𝑚₁ ∶ cos (5𝜋

12) =√2 − √3

2 𝑒𝑡 𝑚₂ ∶ cos (5𝜋

12) =(√6 − √2) 4 Est-ce contradictoire ? Justifier votre réponse.

Qu'est-ce qu'un homme complexe dit à une femme réelle ?

Réponse : " viens danser ! ". (dans )

Et vous, amusez-vous bien… Ne cherchez pas trop la complexité…