Résultats ou indices

AP - Complexes - épisode 2 -2nd Exercice 1

1. Associer à chaque nombre complexez_kde la colonne de gauche, son écriture sous forme expo- nentielle et placer leurs pointsM_kd’affixez_kdans le plan complexe.

• z₁= −1 2+i

p3

2

• z₂=p 3−i

• z3= − (p

2 2 +i

p2 2

)

• z₄= −3

• z₅= −3p 3 2 +3

2i

• z6=2−2i

• z₇=1−p 3i

• z₈= −2i

• 3e^iπ

• 2p 2e^−iπ/4

• 2e^−iπ/6

• 3e^5iπ/6

• e^2iπ/3

• e^−3iπ/4

• 2e^−iπ/2

• 2e^−iπ/3

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1 1 2 3

0

2. Choisir la forme la plus adaptée pour déterminer les nombres suivants : a.z5+z8 b.z2z6 c.z72 d.z5+z5

Exercice 2

1. Déterminer l’ensemble des pointsM du plan complexe dont l’affixez_M vérifie|z_M−i+1| =3.

2. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan complexe dont l’affixez_Mvérifie|z_M−i+1| = |z_M−i|.

Exercice 3 d’après Centres étrangers - juin 2014

On définit, pour tout entier natureln, les nombres complexeszpar





z₀=16 zn+1=1+i

2 znpour tout entier natureln

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origineOon considère les pointsAnd’affixeszn. 1. Calculerz1,z2,z3.

2. Placer dans le repère les pointsA0, A1etA2. 3. Écrire le nombre complexe 1+i

2 sous forme trigonométrique.

4. Démontrer que le triangleO A₀A₁est isocèle rectangle en A₁.

−4 −2 2 4 6 8 10 12 14 16

−2 2 4 6 8 10

0

Exercice 4 QCM

Donner la seule réponse exacte parmi les trois proposées.

1. Soientz₁=(−1+i) etz₂=(p 3−i)

.

La forme exponentielle du nombre complexe z₁ z₂ est : a.

p2

2 e^11iπ/12 b.

p2

2 e^7iπ/12 c.e^7iπ/12 2. Pour tout entier natureln, on posez_n=(p

3+i)n

. z_nest un nombre imaginaire pur lorsquenest égal à : a.3+3k (k∈Z) 3+6k (k∈Z) 3k (k∈Z)

3. Dans le plan complexe, on donne deux points distinctsAetBd’affixes respectivesz_Aetz_Bnon nulles.

Si z_B−z_A z_B = −i

2, alors le triangleO ABest : a.rectangle b.isocèle c.quelconque

Exercice 5 Nouvelle Calédonie 2013

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O,−→ u, −→

v )

. On noteCl’ensemble des nombres complexes.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. Proposition 1 :Pour tout entier natureln: (1+i)⁴ⁿ=(−4)ⁿ. 2. Soit (E) l’équation (z−4)(

z²−4z+8)

=0 oùzdésigne un nombre complexe.

Proposition 2 :Les points dont les affixes sont solutions dansC, de (E) sont les sommets d’un triangle d’aire 8.

3. Proposition 3 :Pour tout nombre réelα, 1+e^2iα=2e^iαcos(α).

4. SoitAle point d’affixez_A=1

2(1+i) etM_nle point d’affixe (z_A)ⁿoùndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Proposition 4 :sin−1 est divisible par 4, alors les pointsO,AetM_nsont alignés.

2

5. Soitj le nombre complexe de module 1 et d’argument 2π 3 . Proposition 5 : 1+j+j²=0.

Exercice 6

Déterminer le module et un argument de : 1. z=1+i

1−i 2. z=1+ip

3 1+i 3. z=−p

2 1+i

Exercice 7

Mettre chaque nombre complexe sous forme trigonométrique.

1. z=(−1+i)⁵ 2. z=(p

3−i)4

3. z=

(p2−1) i 1−i

Exercice 8

Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants : 1. z=(

sinπ

6+i cosπ 6

)₆ 2. arg(iz)=3π

4 (2π) et|z| =2

Exercice 9

On donne les nombres complexes :z₁=

p6−ip 2

2 etz₂=1−i.

1. Donner une forme trigonométrique dez₁,z₂et z₁ z₂. 2. Donner la forme algébrique de z₁

z2

.

3. En déduire la forme exacte de cos π

12 et de sin π 12.

Exercice 10

On rappelle les formules trigonométriques :

cos 2a=2 cos²a−1 et sin(2a)=2 sinacosa On notez₁=1+cosα+i sinαavecα∈[0;π[.

1. Démontrer quez1=2 cosα 2 (

cosα

2+i sinα 2 )

. 2. En déduire le module et un argument dez₁.

α∈]π; 2π].

Résultats ou indices

Ex. 1:2.a.−3p 3 2 −1

4i2.b6e^−i2π/32.c4e^−i2π/32.d−3p 3

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1 1 2 3

0

z₁

z₂ z₃

z₄ z₅

z₆ z7

z₈

Ex.2:1.Un cercle de centre (−1; 1) et de rayon 3.2.La droite d’équationx= −1 2. Ex.3:1.8+8i, 8i,−4+4i2.

2 4 6 8 10 12 14 16

−2

−4

−2 2 4 6 8

bb b b b

b

b

A0

A3

A4

A₅ A₆

A1

A2

0

3.

p2 2 (cosπ

4+i sinπ

4)4.Réponse donnée.

Ex.4:1.a.2.b.3.a.

Ex.5:P.1VP.2FP.3VP.4V Ex.6:1.|z| =1 et arg(z)=π

2.2.|z| =p

2 et arg(z)= π

12.3.|z| =1 et arg(z)=3π 4 . Ex.7:1.4p

2 (

cos−π

4 +i sin−π 4

) 2.16

(

cos−2π

3 +i sin−2π 3

)

3.(2−p 2)

( cos3π

4 +i sin3π 4

) Ex.8:1.cosπ+i sinπ2.2

( cosπ

4+i sinπ 4 ) Ex.9:1.z₁=p

2 (

cos−π

6 +i sin−π 6

)

,z₁=p 2

(

cos−π

4 +i sin−π 4

) etz₁

z₂=cos π

12+i sin π 122.

p6 4 +

p2 4 +

(p 6 4 −

p2 4

) i

3.cos (π

12 )=

p6 4 +

p2 4 et sin

(π 12

)= p6

4 − p2

4 Ex.10:1.Réponse donnée.2.|z| =2 cos

(α 2 )

et arg(z)=α

2 3.|z| = −2 cos(α 2 )

et arg(z)=α 2+π

4