AP 16 - Espace Saison 3 - TS
Exercice 1 d’après Liban juin 2014
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque ré- ponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé. On considère le planP d’équationx−y+3z+1=0 et la droite Ddont une représentation paramétrique est
x= 2t
y= 1+t , t∈R z= −5+3t
On donne les pointsA(1 ; 1; 0),B(3 ; 0 ; −1) etC(7 ; 1 ; −2) Proposition 1 :
Une représentation paramétrique de la droite (AB) est
x= 5−2t
y= −1+t , t∈R z= −2+t
Proposition 2 :
Les droitesDet (AB) sont orthogonales.
Proposition 3 :
Les droitesDet (AB) sont coplanaires.
Proposition 4 :
La droiteDcoupe le planP au pointEde coordonnées (8;−3; −4).
Proposition 5 :
Les plansP et (ABC) sont parallèles.
Exercice 2 d’après Centres étrangers juin 2014
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :
A(1 ; 2 ; 7), B(2 ; 0 ; 2), C(3 ; 1 ; 3), D(3 ; −6 ; 1) et E(4 ;−8 ;−4).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit→−
u(1 ;b; c) un vecteur de l’espace, oùbetcdésignent deux nombres réels.
a. Déterminer les valeurs debetctelles que→−
u soit un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : x−2y+z−4=0.
c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
3. On considère la droiteDde l’espace dont une représentation paramétrique est :
x = 2t+3 y = −4t+5 z = 2t−1
oùtest un nombre réel.
a. La droiteDest-elle orthogonale au plan (ABC) ?
b. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droiteDet du plan (ABC).
4. Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
Exercice 3 d’après Polynésie juin 2014
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points
A(5 ;−5 ; 2), B(−1 ; 1 ; 0), C(0 ; 1 ; 2) et D(6 ; 6 ; −1).
1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
2. a. Montrer que le vecteur→− n
−2 3 1
est un vecteur normal au plan (BCD).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteDorthogonale au plan (BCD) et pas- sant par le point A.
4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droiteDet du plan (BCD).
5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formuleV = 1
3B×h, oùBest l’aire d’une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante.
6. On admet que AB =p
76 et AC=p 61.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angleBAC.
Exercice 4 d’après Antilles-Guyane 2014
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la ré- ponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
L’espace est muni d’un repère orthonormé (
O,→− ı ,→−
ȷ ,→− k
) .
On considère les points A(1 ; 2 ; 5), B(−1 ; 6 ; 4), C(7 ; −10 ; 8) et D(−1 ; 3 ; 4).
1. Proposition 1 :Les points A, B et C définissent un plan.
2. On admet que les points A, B et D définissent un plan.
Proposition 2 :Une équation cartésienne du plan (ABD) estx−2z+9=0.
3. Proposition 3 :Une représentation paramétrique de la droite (AC) est
x = 3
2t−5 y = −3t+14 z = −3
2t+2
t∈R
4. SoitP le plan d’équation cartésienne 2x−y+5z+7=0 etP′le plan d’équation cartésienne
−3x−y+z+5=0.
Proposition 4 :Les plansP etP′sont parallèles.
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Exercice 5 d’après Métropole Septembre 2014 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé
( O,−→
ı , −→ȷ ,→− k
)
, on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées :
A (
1 ;−p 3 ; 0
)
; B (
1 ;p 3 ; 0
)
; C(−2 ; 0 ; 0) ; D (
0 ; 0 ; 2p 2
) . 1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne 4x+zp
2=4.
2. On noteDla droite dont une représentation paramétrique est
x = t
y = 0
z = tp 2
,t∈R
a. Démontrer queDest la droite qui est parallèle à (CD) et passe par O.
b. Déterminer les coordonnées du point G, intersection de la droiteDet du plan (ABD).
3. a. On note L le milieu du segment [AC].
Démontrer que la droite (BL) passe par le point O et est orthogonale à la droite (AC).
b. Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déterminer le centre de son cercle circonscrit.
4. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur.
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Résultats ou indices Ex. 1
Proposition 1 : Vraie - Proposition 2 : Vraie - Proposition 3 : Fausse - Proposition 4 : Fausse - Proposition 5 : Vraie.
Ex. 2 2.a. −→
u (1;−2; 1) - 2.c. D n’appartient pas à (ABC). 3.a. D est orthogonale au plan (ABC).3.b.Le pointH a pour coordonnées (5; 1; 1).4.La droite (DE) est strictement parallèle au plan (ABC).
Ex. 3
1.BC D est rectangle enC et n’est pas isocèle. Son aire vaut 5p 14
2 .2.b.Une équation cartésienne du plan (BC D) est : −2x+3y+z−5=0.3.Une représentation paramé-
trique deDest :
x = 5−2t y = −5+3t z = 2+t
t ∈R
4.H a pour coordonnées (1; 1; 4).5.V = 70
3 .6.BAC≈14, 2ˇr.
Ex. 4
Proposition 1 : Fausse - Proposition 2 : Vraie - Proposition 3 : Fausse - Proposition 4 : Fausse.
Ex.5
2.b.G a pour coordonnées (2
3; 0;2p 2 3
) .
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