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DS de Spécialité Mathématiques
Calculatrice autorisée : durée 1h
EXERCICE 1 7,5pts
Pour chacune des cinq réponses suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué 1,5 pts par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1) Affirmation 1
Pour tout entier naturel 𝑛, le chiffre des unités de 𝑛2+ 𝑛 n’est jamais égal à 4.
Rappel : le chiffre des unités d’un nombre est le reste de la division euclidienne de ce nombre par 10.
2) On considère la suite (𝑢𝑛) définie, pour 𝑛 ≥ 1, par 𝑢𝑛 =1
𝑛× 𝑃𝐺𝐶𝐷(20 ; 𝑛) Affirmation 2
La suite (𝑢𝑛) est convergente.
3) On considère le système {𝑛 ≡ 1 (5)
𝑛 ≡ 3 (4) d’inconnue 𝑛 entier relatif.
Affirmation 3
Si 𝑛 est solution de ce système alors 𝑛 − 11 est divisible par 4 et par 5.
Affirmation 4
Pour tout entier relatif 𝑘, l’entier 11 + 20𝑘 est solution du système.
Affirmation 5
Si un entier relatif 𝑛 est solution du système alors il existe un entier relatif 𝑘 tel que 𝑛 = 11 + 20𝑘
Quand on y réfléchit, « c’est pas faux » !!!!! ^^
Bon courage à vous pour cette heure supplémentaire, mais quel bonheur, n’est-il pas ?
23/01/2019
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EXERCICE 2 12,5pts
On considère l’algorithme suivant où 𝐴 et 𝐵 sont des entiers naturels tels que 𝐴 < 𝐵 et 𝐷 un entier :
1) On entre 𝐴 = 12 et 𝐵 = 14.
En remplissant le tableau ci-dessous, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
2) Que calcule cet algorithme ?
3) En entrant 𝐴 = 221 et 𝐵 = 331, que va afficher cet algorithme ?
4) Justifier qu’il existe des couples (𝑥 ; 𝑦) d’entiers relatifs solutions de l’équation (𝐸) 221𝑥 − 331𝑦 = 1.
5) Vérifier que le couple (3 ; 2) est une solution de l’équation (𝐸).
En déduire l’ensemble des couples (𝑥 ; 𝑦) d’entiers relatifs solutions de l’équation (𝐸).
6) On considère les suites d’entiers naturels (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) définies pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢𝑛 = 2 + 221𝑛 et { 𝑣0 = 3
𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛+ 331 a) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
b) Déterminer tous les couples d’entiers naturels (𝑝 ; 𝑞) tels que 𝑢𝑝 = 𝑣𝑞, avec 0 ≤ 𝑝 ≤ 500 et 0 ≤ 𝑞 ≤ 500.
𝐷 ← 𝐵 − 𝐴 𝑇𝑎𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝐷 > 0
𝐵 ← 𝐴 𝐴 ← 𝐷
𝑆𝑖 𝐵 > 𝐴 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐷 ← 𝐵 − 𝐴 𝑆𝑖𝑛𝑜𝑛
𝐷 ← 𝐴 − 𝐵 𝐹𝑖𝑛 𝑆𝑖
𝐹𝑖𝑛 𝑇𝑎𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒 On souhaite afficher la valeur de 𝐴.
