Interrogation sur les nombres complexes T.S

(1)

06/02/2019

EXERCICE 1 1,5 pts

Déterminer les formes algébriques des nombres suivants :

𝑧_𝐴 = (2 + 3𝑖)(1 − 7𝑖) 𝑧_𝐵= (2 − 3𝑖)² 𝑧_𝐶 =2 + 5𝑖 3 − 2𝑖

EXERCICE 2 3,5 pts

Donner une forme trigonométrique des nombres suivants :

𝑧_𝐷 = 1 + 𝑖 𝑧_𝐸 = √3 − 𝑖 𝑧_𝐹 = −5 𝑧_𝐺 = −3 (cos (𝜋

3) + 𝑖 sin (𝜋 3))

EXERCICE 3 4 pts

Indiquer si les phrases suivantes sont vraies ou fausses, et justifier votre réponse.

1) Si 𝑧 est un nombre complexe non nul, ^𝑧

2−𝑧̅²

𝑧𝑧̅+3 est imaginaire pur.

2) Pour tous complexes 𝑧 et 𝑧′, |𝑧 + 𝑧′| = |𝑧| + |𝑧′|.

3) 1 + 𝑖 est solution de l’équation 𝑧²+ (1 − 𝑖)𝑧 − 2 − 2𝑖 = 0.

4) Pour tout complexe non nul 𝑧,

𝑅𝑒 (1

𝑧) =𝑅𝑒(𝑧)

|𝑧|² .

On donne les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives 𝑎, 𝑏 et c :

𝑎 = 1 +3

4𝑖 ; 𝑏 = 2 −5

4𝑖 ; 𝑐 = 3 +7 4𝑖.

1) Placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.

2) Quelle est la nature du triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

3) Calculer l’affixe de 𝐴′ tel que 𝐴𝐵𝐴′𝐶 soit un carré.

(2)

Soit 𝑧 un nombre complexe et soit 𝑧′ le nombre complexe défini par 𝑧^′ = (𝑧 − 𝑖)(3𝑖𝑧 − 4).

On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec 𝑥 ∈ ℝ et 𝑦 ∈ ℝ et 𝑧^′ = 𝑥^′+ 𝑖𝑦′ avec 𝑥^′ ∈ ℝ et 𝑦^′ ∈ ℝ.

1) Déterminer 𝑥′ et 𝑦′ en fonction de 𝑥 et de 𝑦.

2) Déterminer 𝑧 tel que 𝑧′ soit imaginaire pur.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂 ; 𝑢⃗ , 𝑣 ).

1) Soient 𝐴 le point d’affixe 2 − 5𝑖 et 𝐵 le point d’affixe 7 − 3𝑖.

Proposition 1 : Le triangle 𝑂𝐴𝐵 est rectangle isocèle.

2) Soit (∆) l’ensemble des points 𝑀 d’affixe 𝑧 telle que |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 + 2𝑖|.

Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3) Soit 𝑧 = 3 + 𝑖 √3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝑧^3𝑛 est imaginaire pur.

4) Soit 𝑧 un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si ^𝜋

2 est un argument de 𝑧 alors |𝑖 + 𝑧| = 1 + |𝑧|.

5) Soit 𝑧 un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de 𝑧 est égal à 1 alors 𝑧²+ ¹

𝑧² est un nombre réel.

Bon courage !!!