Mathématique ECS 1 13 avril 2018
Devoir libre 12.
Pour le 30 avril 2018.
Exercice 1. On dispose de deux jeux identiques dencartes chacun, dont les dos sont indiscernables.
Chacun de ces jeux est composé denfigurines représentant des animaux différents.
On dispose les2ncartes des deux jeux dans une urne.
On réalise une succession de tirages de deux cartes simultanément de la manière suivante :
— si on tire deux cartes jumelles, on ne les remet pas dans l’urne ;
— sinon, on remet les deux cartes dans l’urne.
On noteTn la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l’urne.
(1) Soitnun entier supérieur ou égal à2. DéterminerTn(Ω).
(2) (a) A l’aide des événementsAj : « lors duj - ème tirage, deux cartes jumelles ont été tirées », calculerP(T2=k) pour tout entierk≥2.
(b) Montrer que la sérieX
k≥2
kP(T2=k)converge et calculer sa somme
+∞
X
k=2
kP(T2=k). Cette somme définit l’espé-
rance deT2.
(3) (a) Déterminer les probabilitésP(T3= 3), P(T3= 4).
En considérant le système complet d’événements A1, A1
, déterminerP(T3= 5).
(b) Montrer plus généralement que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2 et pour k≥n−1 :
P(Tn=k+ 1) = n
2n 2
P(Tn−1=k) +
2n 2
−n
2n 2
P(Tn =k).
(c) On admet dans cette question que pour tout entier naturel non nuln, Tn admet une espérance.
Montrer en multipliant l’égalité précédente parket en sommant de k=n−1à+∞que pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2,E(Tn) =E(Tn−1) + 2n−1.
En déduire pour tout entier naturel non nulnune expression deE(Tn)en fonction den. Exercice 2. Pour tout entier naturel non nuln, on note :
Hn= 1 +1
2 +· · ·+1 n =
n
X
k=1
1
k; Sn= 1 + 1
22 +· · ·+ 1 n2 =
n
X
k=1
1 k2.
On note aussifn et gn les fonctions numériques définies surRpar les relations :
fn(x) =
n
X
k=1
ln 1 +x
k
gn(x) = n!
(x+ 1)· · ·(x+n) On introduit aussiIn, Vn etUn les intégrales :
In=
1
Z
0
gn(x)dx Un =
√1 Hn
Z
0
gn(x)dx Vn=
1
Z
√1 Hn
gn(x)dx
(1) (a) La suite(Hn)est-elle convergente ? La suite (Sn)est-elle convergente ? (b) Etablir, pour tout réel positif ou nulx, l’encadrement :
x−x2
2 ≤ln(1 +x)≤x (c) En appliquant l’encadrement qui précède àx= 1
k pourk= 1,2, . . . , nmontrer queHn ∼ln(n) (2) (a) Exprimergn(x)à l’aide defn(x)pourx∈R.
1
(b) En déduire, à l’aide de l’encadrement (1b), les encadrements :
1/√ Hn
Z
0
e−xHndx≤Un≤e2HnSn
1/√ Hn
Z
0
e−xHndx
(c) En conclure queUn∼ 1 Hn
.
(d) Montrer de façon analogue l’encadrement : 0≤Vn≤e−
√HneSn2 Hn
(e) Démontrer queVn=o 1
Hn
quand ntend vers l’infini.
(3) A l’aide des questions précédentes, établir queIn∼ 1 lnn
2
