PanaMaths Novembre 2015
Soit ( Ω , A , P ) un univers probabilisé.
1. Soit A et B deux événements quelconques dans A . Montrer que : P A B ( ∩ ) ≥ P A ( ) + P B ( ) − 1 .
2. Généralisation (inégalité de BONFERRONI).
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et ( A A A
1,
2,
3, ..., A
n) ∈ An.
Montrer que : (
1 2 3) ( ) ( )
1 1
... 1
n n
n i i
i i
P A A A A P A P A n
=
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ≥ ∑ − −
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ .
Analyse
Le premier résultat découle immédiatement d’une propriété classique des probabilités. Quant à la généralisation, une récurrence rapide permet de l’établir sans mal.
Résolution
Question 1.
A partir de l’égalité classique P A
(
∪B)
=P A( )
+P B( )
−P A(
∩B)
, il vient :( ) ( ) ( ) ( )
P A∩B =P A +P B −P A∪B
Comme 0≤P A
(
∪B)
≤1, on a − ≤ −1 P A(
∪B)
≤0 et donc :( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A +P B − ≤P A +P B −P A∪B ≤P A +P B . Finalement, on a bien : P A
(
∩B)
≥P A( )
+P B( )
−1.(
A B,)
2,P A(
B)
P A( )
P B( )
1∀ ∈A ∩ ≥ + −
Question 2.
L’énoncé suggère une démonstration par récurrence…
Le résultat a été établi pour n=2 à la question précédente.
PanaMaths Novembre 2015
Soit alors n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Supposons que l’on ait, pour tout
(
A A A1, 2, 3, ...,An)
dans An :( ) ( )
1 1
1
n n
i i
i i
P A P A n
=
=
⎛ ⎞≥ − −
⎜ ⎟
⎝
∩
⎠∑
Soit alors
(
A A A1, 2, 3, ...,A An, n+1)
dans An+1. On a :( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )
1
1
1 1
question 1 1 1
1 hypothèse de 1
1 1
récurrence
1
1 1 1 1
n n
i i n
i i
n
i n
i
n n
i n i
i i
P A P A A
P A P A
P A n P A P A n
+
+
= =
+
=
+ +
= =
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠
⎛ ⎞
≥ ⎜ ⎟+ −
⎝ ⎠
≥
∑
− − + − +∑
− + −∩ ∩
∩∩
Le résultat est ainsi établi au rang n+1.
Le résultat est donc vrai pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 :
( ) ( )
1 1
1
n n
i i
i i
P A P A n
=
=
⎛ ⎞≥ − −
⎜ ⎟
⎝
