2nd - Devoir commun du 30 mars 2015 - page 1/4
2 nde DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES
Lundi 30 mars de 14h à 16h – Durée : 2 heures
Nom, Prénom : Classe :
EXERCICE 1 : 4 points EXERCICE 2 : 9 points EXERCICE 3 : 7 points Note sur 20
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
L’énoncé comporte 4 pages, à rendre avec la copie.
L’usage d'une seule calculatrice est autorisé. L’échange entre candidats est interdit.
Exercice 1 : (4 points)
Dans un lycée de 1470 élèves, 350 élèves ont été vaccinés contre la grippe au début de l’hiver.
On a recensé sur l’ensemble des élèves du lycée que 10% des élèves ont eu la grippe.
Parmi ceux-là, 14 étaient vaccinés.
1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous.
Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total Elèves ayant eu la grippe
Elèves n'ayant pas eu la grippe Total
Pour la suite de l'exercice, vous donnerez les valeurs exactes de vos résultats.
2. On choisit au hasard l’un des élèves de ce lycée, chacun d'eux ayant la même probabilité d’être choisi.
a) Déterminer la probabilité des événements : : « L'élève choisi a été vacciné » : « L'élève choisi a eu la grippe »
b) Calculer la probabilité que l’élève choisi ait contracté la grippe tout en ayant été vacciné.
c) Calculer la probabilité de l’événement ∪ .
d) Décrire par une phrase l’événement et calculer sa probabilité.
3. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui ont été vaccinés, quelle est la probabilité qu’il ait eu la grippe ? 4. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui n’ont pas été vaccinés, quelle est la probabilité qu’il ait eu la
grippe ?
5. Expliquer pourquoi le vaccin est efficace.
2nd - Devoir commun du 30 mars 2015 - page 2/4 Exercice 2 : (9 points) Cet exercice comporte trois parties
On a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction dans le plan muni d’un repère orthogonal :
PARTIE A : LECTURE GRAPHIQUE
Graphiquement, avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier : 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction ?
2. Quelle est l'image de 2 par la fonction ? 3. Résoudre l'équation 6.
4. Résoudre l'inéquation 5.
5. Quelle semble être la valeur du maximum de la fonction ? 6. Dresser le tableau de variations de la fonction .
PARTIE B : ETUDE DE DEUX FONCTIONS 1. On sait à présent que la fonction est définie sur 0 ; 6 par : 6 a) Le point A
(
54 ; 6)
appartient-il à ? Justifier par le calcul.b) Calculer l'image du réel 3 + 3 par la fonction .
2. On considère la fonction définie sur 0 ; 6 par : 12 . a) Indiquer, en justifiant, le sens de variation de la fonction .
b) Sur le graphique ci-dessus, tracer la représentation graphique Δ de la fonction . c) Le réel 5 a-t-il un antécédent par la fonction ? (Justifier la réponse par un calcul).
2nd - Devoir commun du 30 mars 2015 - page 3/4 PARTIE C : RESOLUTION D'UN PROBLEME
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 12 et AC = 6.
Soit ACDE le rectangle extérieur au triangle ABC tel que AE = 2.
Soit M un point du segment [AC].
La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe le segment [BC] en un point N.
On pose AM =
Problème : On souhaite déterminer les positions du point M pour lesquelles l’aire du triangle AMN est strictement inférieure à l’aire du trapèze MCDE.
1. a) Donner l'intervalle auquel doit appartenir . b) Montrer que MN = 26 − .
c) Montrer que l’airedu triangle AMN est égale à , où est la fonction définie dans la partie B.
Pour la suite de l'exercice, on admet que l’aire du trapèze MCDE est égale à , où est la fonction définie dans la partie B.
2. En utilisant les représentations graphiques des fonctions et , déterminer l’ensemble des valeurs de telles que l’aire du triangle AMN soit strictement inférieure à l’aire du trapèze MCDE.
3. a) Montrer que − = 3 − − 4 . b) Etudier le signe de 3 − − 4 .
c) Résoudre l’inéquation < .
d) Que peut-on dire du résultat obtenu graphiquement à la question C.2. ?
Exercice 3 : (7 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; ; ) donné en page 4.
On considère les points A(– 2 ; 5), B(2 ; – 1), C(5 ; 1), D
−
!"#; −
!$
et I le milieu de [AC].1. a) Placer les points A, B , C, D et I dans le repère orthonormé donné en page 4.
b) Lire les coordonnées du point I. Les vérifier par le calcul.
2. On admet que AB = 2√13 et que BC = √13. Déterminer la nature du triangle ABC.
2nd - Devoir commun du 30 mars 2015 - page 4/4 3. On considère l’algorithme suivant :
a) Qu’affiche l’algorithme lorsqu'on saisit les coordonnées de A ? Justifier.
b) Quel est le rôle de cet algorithme ?
Les questions 4, 5 et 6 sont indépendantes.
4. a) Calculer les coordonnées du vecteur AB.
b) Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que ABCE soit un parallélogramme.
c) Quelle est la nature de ce parallélogramme ? Justifier.
5. Montrer que DI = *
#BC
.
Que peut-on en déduire pour les droites (DI) et (BC) ?6. Soit G le point de l’axe des abscisses tel que A, B et G sont alignés. Calculer les coordonnées de G.
Variables , , et - sont des réels Entrée Saisir , ,
Traitement Affecter à - la valeur. −/$ , 3 ² et sortie Si - = √1"
Alors afficher « oui » Sinon afficher « non » Fin Si
