2 CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES

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2 ^nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 : (4 points)

1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous.

Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total

Elèves ayant eu la grippe 14 133 147 *

Elèves n'ayant pas eu la grippe 336 987 1323

Total 350 1120 1470

*10 % de 1470 = 1470 × = 147

2. On choisit au hasard l’un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d’être choisi.

a) Calculer la probabilité des événements :

• V : « il a été vacciné » ; = =

• G : « il a eu la grippe » ; = = = 0,1

b) Calculer la probabilité que l’élève choisi ait contracté la grippe tout en ayant été vacciné.

∩ = 14 1470 = 1

105

c) Calculer la probabilité de l’événement ∪ .

D’après la formule du cours : ∪ = + − ∩

∪ = = = d) Décrire par une phrase l’événement et calculer sa probabilité.

correspond à L’événement contraire de V ,c'est-à-dire : « L’élève n’a pas été vacciné»

D’après la formule du cours : = 1 −

= 1 − = =

3. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui ont été vaccinés, quelle est la probabilité qu’il ait eu la grippe ? La population étudiée est l’ensemble des élèves vaccinés qui sont au nombre de 350 et d’après l’énoncé : 14 d’entre eux ont eu la grippe.

La probabilité qu’il ait eu la grippe parmi les élèves vaccinés est égale à = = 0,04.

4. On choisit au hasard un élève parmi ceux qui n’ont pas été vaccinés, quelle est la probabilité qu’il ait eu la grippe.

La population étudiée est l’ensemble des élèves non vaccinés qui sont aux nombres de 1120 et d’après le tableau, on peut lire que 133 élèves sur 1120 ont eu la grippe.

La probabilité qu’il ait eu la grippe parmi les élèves non vaccinés est égale à

= = 0,11875 5. Expliquer pourquoi le vaccin est efficace.

D’après les questions 3 et 4, 4% des élèves vaccinés ont eu la grippe contre 12% des élèves non vaccinés, Le vaccin est efficace car la probabilité de contracter la grippe est bien plus faible pour les élèves vaccinés.

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Exercice 2 : (9 points)

PARTIE A : LECTURE GRAPHIQUE

1) L'ensemble de définition de la fonction f est [0 ; 6].

2) L'image de 2 par f est 8.

3) Les solutions de l'équation f (x) = 6 sont les antécédents de 6 par f : S = { 1,25 ; 4,75 }.

4) Les solutions de l'inéquation f (x) < 5 sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée strictement inférieure à 5 : S = [0 ; 1[ U ]5 ; 6].

5) La valeur du maximum de f semble être 9.

6) A l'aide de la représentation graphique de f , dressons son tableau de variations :

PARTIE B : ETUDE DE DEUX FONCTIONS

1) On sait à présent que f est définie sur [0 ; 6] par f (x) = – x² + 6x.

a) f ( 5

4 ) = – 25 16 + 30

4 = – 25 16 + 120

16 = 95

16=!, "#$!; 5,9375 ≠ 6 donc f (xA) ≠ yA. Alors A ∉∉∉∉%%%%. b) f (3 + 3) = – (9 + 6 3 + 3) + 6(3 + 3) = – 12 – 6 3 + 18 + 6 3 donc f (3 + 3) = 6.

2) On considère la fonction g définie sur [0 ; 6] par : g(x) = 12 – x.

a) g(x) s'écrit sous la forme g(x) = ax + b avec a = – 1 et b = 12.

g est donc une fonction affine de coefficient strictement négatif, elle est donc strictement décroissante sur [0 ; 6].

b) La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ; ici g est définie sur [0 ; 6].

g(0) = 12 et g(6) = 6 donc Δ est le segment [EF], avec E(0 ; 12) et F(6 ; 6).

c) Sur [0 ; 6], on résout l'équation : g(x) = 5 ⇔ 12 – x = 5 ⇔ x = 7.

Or 7 ∉ [0 ; 6] donc 5 n'a pas d'antécédent par g sur [0 ; 6].

x 0 3 6 Variations de f 9

0 0

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PARTIE C : RESOLUTION D'UN PROBLEME 1) a) M∈[AC], AC = 6 et AM = x donc x ∈∈∈∈ [0 ; 6].

b) Dans le triangle ABC, M∈[AC], N∈[BC] et (MN)//(AB) donc, d'après le théorème de Thalès : CN

CB = CM CA = MN

AB soit, en particulier : 6 – x

6 = MN

12 ⇔2(6 – x) 12 = MN

12 ⇔ MN = 2(6 – x).

c) L’airedu triangle AMN est égale à : AM×MN

2 = x×2(6 – x)

2 = x(6 – x) = – x² + 6x = f (x).

2) Résoudre graphiquement le problème posé revient à résoudre graphiquement l'inéquation f (x) < g(x), c'est-à-dire à lire les abscisses des points de % situés en dessous de Δ.

L’aire de AMN est strictement inférieure à celle de MCDE pour x ∈∈∈∈ [0 ; 3[ U ]4 ; 6].

3) a) D'une part, f (x) – g(x) = – x² + 6x – (12 – x) = – x² + 6x – 12 + x = – x² + 7x – 12.

D'autre part, (3 – x)(x – 4) = 3x – 12 – x² + 4x = – x² + 7 x – 12.

Donc f (x) – g(x) = (3 – x)(x – 4)

b) 3 – x = 0 ⇔ x = 3 ; a = – 1 donc a < 0 ; x – 4 = 0 ⇔ x = 4 ; a = 1 donc a > 0.

D'où le tableau de signes :

c) f (x) < g(x) ⇔⇔⇔⇔ f (x) – g(x) < 0 ⇔ (3 – x)(x – 4) < 0.

Donc d'après la question précédente,S = [0 ; 3[ U ]4 ; 6].

d) On valide ainsi le résultat obtenu graphiquement à la question C.2.

x 0 3 4 6

3 – x + 0 – –

x – 4 – – 0 +

(3 – x)(x – 4) – 0 + 0 –

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Exercice 3 : (7 points)

1) On considère les points A(– 2 ; 5), B(2 ; – 1), C(5 ; 1), D

&−

;

(

a) Plaçons les points A, B , C, D et I dans le repère orthonormé.

Voir ci-contre.

Pour placer I, nous pouvons tracer le segment [AC] puis sa médiatrice.

b) Graphiquement les coordonnées du point I semblent être : (1,5 ; 3)

Par le calcul : )*⁺ = *,+ *-/2

0₊= 0_,+ 0_-/2 ⇔ )*⁺ 3/2

0+ 3 ; 3 #/4 ; #

2) On sait que AB = 2√13 et que BC = √13. Déterminons la nature du triangle ABC.

Dans le triangle 678, on calcule la longueur du segment 968:.

68 ;*- *, 0- 0, ;5 2 1 5 ;7² 4² √49 16 √65 (Cette formule s’applique dans un repère orthonormé), on en déduit que le côté le plus long est 968:.

Calculons d’une part : 67 78 4 13 13 65 Calculons d’autre part : 68 ?√65@ 65

donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3) On considère l’algorithme suivant :

a) Si on saisit les coordonnées de A :

• * = −2 et 0 5

• A B&2 ( 5 3 = B& ( 5 3

• A B&( 2 B 4 B B B B_C^√_√C^√

• Résultat : « oui »

b) La valeur contenue dans la variable A représente la distance entre le point D 3/2 ; 3 et le point de coordonnées * ; 0 que l’utilisateur a saisies (dans le repère orthonormé).

L’algorithme permet de savoir si le point de coordonnées * ; 0 est ou n’est pas sur le cercle de centre D et de diamètre 968: &AE0FG ^√ (.

4)

a) Les coordonnées du vecteur ABJJJJJK sont (*_L− *_, ; 0_L− 0_,) doncABJJJJJK2 − −2;−1 5, soit _ABJJJJJK 4 ; 6. Variables *, 0 et A sont des réels

Entrée Saisir *, 0

Traitement Affecter à A la valeurB&* −( 0 3² Sortie Si A = ^√

Alors afficher « oui » Sinon afficher « non » Fin Si

donc 68 = 67+ 78

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b) ABCE est un parallélogramme ⇔ 67JJJJJK = M8JJJJJK ⇔ ) 4 5 *6 1 0^NN⇔ )*^N 1

0_N 7 donc M 1 ; 7 c) ABCE est un parallélogramme d’après la question précédente.

De plus, d’après la question 2) ABC est un triangle rectangle en B.

Or un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.

Conclusion : ABCE est un rectangle.

Remarque : ABCE ne peut pas être un losange (car AB = 2√13 et BC = √13 par hypothèse donc 67 S 78), par conséquent ABCE ne peut pas être un carré non plus.

5. Montrer que DIJJJJK =7

4 BCJJJJJK

.

4 Z ; 3 − Y− 1

2Z[ soit DIJJJJK Y214 ; 7 2Z 78JJJJJJJK*- *L ; 0- − 0L donc 78JJJJJJJK5 2; 1 1 soit 78JJJJJJJK3 ; 2

Alors 7 4BCJJJJJK Y7

4 3 ;7

4 2Z soit : 7

4BCJJJJJK Y21 4 ; 7

2Z

Donc DIJJJJK BCJJJJJK , les deux vecteurs sont colinéaires par conséquent les droites (DI) et (BC) sont parallèles.

6. Soit G le point de l’axe des abscisses tel que les points A, B et G soient alignés.

G appartient à l’axe des abscisses donc : G(*\ ; 0 et 6JJJJJK(*\ + 2 ; 0 – 5), soit 6JJJJJK(*\ + 2 ; – 5).

Les points A, B et G sont alignés ⇔ les vecteurs 67JJJJJK(4 ; – 6) et 6JJJJJJK(*\ + 2 ; – 5) sont colinéaires ⇔ il existe un réel k non nul tel que 6JJJJJJK = k67JJJJJK

⇔)*\ 2 4]

– 5 6]

⇔ _` a

`b*\ 4 56 2 ] 56

⇔ _` a

`b*\ 43 ] 56

Donc G Y4 3 ; 0Z .