5 2 a2 1 +a2 = 5a2 2(1 +a2) Exercice 2 On choisit un individu au hasard dans la population

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2017–2018

Devoir maison n^o04 – mathématiques Correction

Exercice 1

On remarque que −0,1(1 +a²) <0, donc la courbe représentative de la fonction f polynomiale de degré 2 est une parabole dont les branches sont orientées vers le bas.

Ainsi la fonction f admet un maximum correspondant au sommet de la parabole.

On sait que l’abscisse du sommet est donnée par la formule :

x= −B

2A = −a

2×(−0,1(1 +a²)) = a 0,2(1 +a²) Pour obtenir le maximum on remplace alors xdans l’expression :

f

a

0,2(1 +a²)

=−0,1(1 +a²)×

a

0,2(1 +a²) 2

+a× a 0,2(1 +a²)

=−0,1× (1 +a²)×a²

0,04×(1 +a²)² + a² 0,2(1 +a²)

=−5 2

a²

1 +a² + 5 a²

1 +a² (car 0,1

0,04 = 5 2 et 1

0,2 = 5)

= 5 2

a² 1 +a²

= 5a² 2(1 +a²) Exercice 2

On choisit un individu au hasard dans la population. On définit les événements : V : « l’individu a été vacciné » ;

M : « l’individu est malade ».

L’énoncé se traduit alors ainsi :

P(V) = 1

4 P^M(V) = 1

5 P^M(V) = 4

5 P^V(M) = 1 12 On en déduit rapidement que P(V) = 1−P(V) = 3

4. On cherche PV(M):

PV(M) = P(V ∩M)

P(V) par définition

= P(M)×PM(V)

P(V) par formule du cours

= (P(V)×P^V(M) +P(V)×PV(M))×P^M(V)

P(V) par la formule des probabilités totales

Notons x=PV(M). Alors en remplaçant on obtient l’équation suivante que l’ont résout :

x=

1

4 × 1 12 +3

4 ×x

× 4 5 3

4

⇔ 3 4x= 1

60+3 5x

⇔ 3 4x− 3

5x= 1 60

⇔ 15−12 20 x= 1

60

⇔ 3

20x= 1 60

⇔x= 1 60 ×20

3 = 1 9 Ainsi, la probabilité de tomber malade pour un individu non-vacciné est 1 9.