Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Lundi 27/11/2017
Devoir à la Maison 4
∀x ∈ R∗+, f(x) = 1
x + 1. La courbe Cf est suivie par l'avion de Bal- thazar qui tire au rayon laser selon la tangente à sa courbe.
1. Déterminer l'équation de la tangente en tout point de la courbe.
Mettre cette équation sous la forme y=mx+p.
Une équation de la tangente à la courbe à la fonction f en un pointA(a;f(a))est : y=f0(a)(x−a) +f(a).
f(a) = 1
a+ 1 = 1 +a a
f(a+h)−f(a)
h =
1 a+h −1
a
h =
−h a2+ah ·1
h = −1 a2+ah
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h = lim
h→0
−1
a2+ah = −1 a2
T :y=f0(a)(x−a) +f(a)
= −1
a2 (x−a) +1 +a a
= −1
a2 x+2 +a a
2. Il doit atteindre tour à tour les 4 cibles de coordonnées (1 ; 0), (2 ; 0),(3 ; 0), et (4 ; 0). En quels points de sa courbe doit-il tirer ?
Atteindre ces 4 cibles revient à dire que les points précédents appartiennent chacun à une tangente à la courbe en un certain point (restant à déterminer).
−1
a2x+2 +a a = −x
a2 +2a+a2
a2 = a2+ 2a−x a2
De plus, les points ont tous une ordonnée en 0. On en déduit donc l'équation : a2+ 2a−x
a2 = 0.x correspond à l'abscisse du point cible. On résout a2+ 2a−x= 0 surR+.
∆ = 4−4·1· −x= 4 + 4x= 4(1 +x) a= −2±p
4(1 +x)
2 =−1±2√
1 +x
2 =−1±√ 1 +x La solution est positive donc a=−1 +√
1 +x (car x >0⇔√
1 +x >1⇔ −1 +√
1 +x >0)
Cible (1 ; 0) (2 ; 0) (3 ; 0) (4 ; 0)
Abscisse −1 +√
2 −1 +√
3 1 −1 +√
5
Ordonnée √
2 + 2
√ 3 2 +3
2 2
√ 5 4 +5
4 Point −1 +√
2 ; √ 2 + 2
−1 +√ 3 ;
√3 2 +3
2
!
(1 ; 2) −1 +√ 5 ;
√5 4 +5
4
!
1
