Exercices chapitre 3 : Développements limités
Du mardi 26 février au mardi 26 mars 2013
Calcul de développements limités
Exercice 1: Montrer que la partie régulière d’un DL en 0 d’une fonction paire ne contient que des termes de degré pair.
Exercice 2: Ecrire le DL de√
1 +xà l’ordre 3 au point 0.
Exercice 3: Ecrire le DL deln(x)au à l’ordre 3 au point 1 puis au point 5.
Exercice 4: Ecrire le DL deexp(x−1)à l’ordre 3 au point 0. En déduire le DL deexp(x)à l’ordre 3 au point -1.
Exercice 5: Ecrire le DL de 1
1 + (x/2)à l’ordre 3 au point 0. En déduire le DL de1/xà l’ordre 3 au point 2.
Exercice 6: Ecrire le DL deln(1 +x
e)à l’ordre 2 au point 0. En déduire le DL delnxà l’ordre 2 au pointe.
Exercice 7: Déterminer le DL enx0à l’ordrendes fonctions :x7→exen x0 = 1; x7→cos(x)en x0 =π/4.
Exercice 8: On définitf parf(x) = ln x+√
x2+ 1
. Calculerf0(x). En déduire le DL de la fonctionf à l’ordre 5 au point 0.
Exercice 9: Soitf :R→Rdéfinie parf(x) =
( 0 si x≤0 e−1/x si x >0
1. Montrer par récurrence qu’il existe un polynômePn(x)tel que pourx >0,f(n)(x) = Pn(x) x2n e−1/x. 2. Calculer lim
x→0+f(n)(x). En déduire quef est de classeC∞surRet que pour toutn,f(n)(0) = 0.
3. Ecrire la formule de Taylor-Young def à l’ordrenen 0. Que peut-on dire du développement limité def en 0 ? Exercice 10: Ecrire le DL en 0 à l’ordre indiqué entre parenthèses des fonctions suivantes :
x7→ex+ cosxordre4; x7→(2x+ 1) sinh(x)ordre6; x7→exln(1 +x)ordre3; x7→tanxordre5;
x7→ ln(1−x)
1−x ordre4; x7→ 1
1 +x+x2 ordre5; x7→ln(cos(x))ordre4; x7→esinxordre4;
x7→√
cosxordre4; x7→ 1
(1 +x)4 ordren; x7→arctan(x)ordren; x7→ln(−x2+x+ 6)ordre6.
Exercice 11: Déterminer le développement asymptotique en 0 à l’ordre 3 de :f1(x) = 1
sinx; f2(x) = cosx ln(1 +x2). Exercice 12: Déterminer le développement limité en+∞jusqu’au terme en 1
x3 de : f1(x) =√
1 +x2; f2(x) = x3+ 2
x−1 ; f3(x) = x3−2x2+ 2x+ 2 x−1 .
Applications
Exercice 13: Calculer les limites suivantes :
x→0lim
x2sinx
x−sinx; lim
x→+∞x−x2ln(1 + 1 x); lim
x→0
√cosx−e−x2 sin2x ; lim
x→0
2 cosh(x) cosx−2
x4 ; lim
x→0
ex sin2x − 1
x2 − 1 x. Exercice 14: Soitf la fonction définie parf(x) = ln(x2+ 2x+ 2).
Etudier la fonctionf au voisinage de0 en précisant bien la tangente à la courbe en ce point, ainsi que la position de la courbe par rapport à cette tangente.
Exercice 15:
Soitf la fonction définie parf(x) = 1 x− 1
tanx.
1. Montrer que l’on peut prolongerf en 0 par continuité.
2. Montrer que la courbe représentative def admet une tangente au point d’abscisse 0 et préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente.
1
Exercice 16: Soitf la fonction définie parf(x) = lnx.
Montrer que la courbe defadmet au point d’abscisse 1 une tangente que l’on déterminera. Préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente.
Exercice 17: Etudier les branches infinies des courbes d’équation : y=x+p
x2−1 ; y= x
1 +e1/x ; y=e1/xp
x(x+ 2) ;
Exercice 18 : DS 2007:
On se propose de trouver un développement asymptotique à deux termes en0+def(x) := 1
tan2(x) sin(x). 1. Trouver la limite def(x)et dex3f(x)en0+.
2. Trouver le développement limité dex3f(x)à l’ordre2en0.
3. En déduire le développement asymptotique à deux termes def(x)en0+.
Exercices avec des équations différentielles
Exercice 19 : DS 2007 : On se propose de trouver le développement limité à l’ordre9 en 0de la fonction dérivable tangente hyperboliquetanh(x)par la méthode de l’équation différentielle.
1. Montrer quetanhvérifie l’équation différentielley0 = 1−y2.
2. Donner les raisons pour lesquellestanhadmet un développement limité de la forme tanh(x) =x+ax3+bx5+cx7+dx9+x10ε1(x)
oùa,b cetdsont des constantes réelles etε1est une fonction nulle et continue en0.
3. Donner les raisons pour lesquelles(tanh)0admet un développement limité de la forme tanh0(x) = 1 + 3ax2+ 5bx4+ 7cx6+ 9dx8+x9ε2(x)
oùε2est une fonction nulle et continue en0.
4. Trouver le développement limité à l’ordre9en0detanh(x).
Exercice 20: On considère la fonctionf :R→Rdonnée parf(x) = Argshx
√1 +x2. 1. Montrer quef satisfait l’équation différentielle x2+ 1
y0(x) +xy(x) = 1.
2. En déduire le développement limité à l’ordre 7 def en 0.
Exercices à rendre le mardi 6 mars (falcultatif) Exercice 1 : session 2 printemps 2008:
1. Enoncer le théorème des accroissements finis pour une fonctionf définie sur un intervalle[a, b].
2. Soit0< x < π
2. Montrer que0≤ 1−cos(x)
x ≤sin(x).
Exercice 2 : session 1 printemps 2012:
1. Donner l’ensemble de définition puis calculer la dérivée d’ordrende la fonctionf(x) = 1 1 +x. 2. Soitx≥0, montrer l’inégalité1−x+x2−x3+ x4
(1 +x)5 ≤f(x)≤1−x+x2−x3+x4. Indication :On pourra utiliser la formule de Taylor-Lagrange à un ordre bien choisi.
3. A partir de l’inégalité précédente, trouver un réela(le plus grand possible) tel que l’inégalité
f(x)− 1−x+x2−x3
≤10−6 soit satisfaite pour toutx∈[0, a].
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