Corrigé Epreuve commune de mathématiques n˚1-Terminales S Spécialité Maths 14 Décembre 2011
Exercice1 5points
Soit f la fonction définie surRpar f(x)=(x−1)e1−x+1
1. Déterminer les limites de f en−∞et+∞, en les justifiant.
– en−∞, d’après les théorèmes sur les limites usuelles et les fonctions composées :
x→−∞lim x−1=−∞et lim
x→−∞e1−x = +∞
Donc d’après le théorème sur le produit : lim
x→−∞f(x)=−∞
– en+∞: lim
x→+∞x−1= +∞et lim
x→+∞e1−x =0
On est en présence d’une forme indéterminée «∞ ×0 »
On la résout en utilisant un théorème de croissances comparées : lim
X→+∞Xe−X =0
Pour pouvoir l’appliquer, on change de variable en posantX= x−1. Alors f(x)= Xe−X+1 Puisque lim
x→+∞x−1= +∞, lim
x→+∞f(x)= lim
X→+∞Xe−X +1=0+1=1 (Autre méthode: f(x)=e×xe−x−e1−x+1)
2. Déterminer le sens de variation de f (justifier) f0(x)=1×e1−x + (x−1)e1−x×(−1)=(−x+2)e1−x
Commee1−x >0, f0(x) est du signe de−x+2. On en déduit le tableau de variations :
x −∞ 2 +∞
f0(x) + 0 −
f(x)
−∞
e−1+1
1
3. (a) Démontrer que, sur l’intervalle[0; 1], l’équation f(x) = 0 admet une solution unique qu’on appelleraa. Donner une valeur approchée deaà10−1près.
f est dérivable sur R (donc continue) puisqu’elle est construite par opérations et composition à partir de fonctions usuelles dérivables surR.
f est strictement croissante sur [0; 1]
f(0)=−e+1<0, f(1)=1>0, donc 0 est une valeur intermédiaire entre f(0) et f(1).
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires (plus précisément d’après sa conséquence, le théorème de la bijection continue), l’équation f(x)=0 admet une solutionaet une seule dans [0; 1].
D’après la calculatrice, f(0,4)≈ −0,93<0 et f(0,5)≈0,176>0. Donc 0,4<a<0,5 (b) Déterminer le signe de f(x)surR
Pourx<a, f(x)<0 puisque f(a)=0,a∈]− ∞; 2] et f est strictement croissante sur ]− ∞; 2].
Poura< x62, f(x)> f(a) puisque f est strictement croissante sur ]− ∞; 2].
Pourx>2, f(x)>1>0 car f est strictement décroissante sur [2;+∞[ et lim
x→+∞f(x)=1 On en déduit le signe de f(x) :
x −∞ a +∞
f(x) − 0 +
4. Déterminer la position de la courbe de f par rapport à sa tangente au point d’abscisse1. . f0(1)=1 et f(1)=0.
Donc l’équation de la tangente en 0 est :y=1×(x−0)+0, soit y= x Etudions le signe de la différence f(x)−x=(x−1)e1−x+1−x
On factorise : f(x)−x=(x−1)(e1−x−1)
Quand a-t-one1−x >1 ? Quand 1−x>0 (puisquee0=1 et que l’exponentielle est strictement croissante).
x−1 ete1−x−1 sont donc toujours de signes contraires, donc f(x)−x<0 pourx,0.
La courbe de f est toujours en-dessous de sa tangente en 1, sauf en 1 où elle est confondue avec la tangente.
On vérifie tous les résultats précédents sur la courbe :
1 2 3 4 5
−2
−1 1
0•a
5. Soitgla fonction définie surRparg(x)=x(ex+1−1).
Démontrer queg0(x)=−f(−x). Utiliser ce résultat pour étudier le sens de variation de f g0(x)=ex+1−1+xe1+x=(x+1)ex+1+1
−f(−x)=−
(−x−1)e1+x+1
=(x+1)e1+x+1 Donc on a bien g0(x)=−f(−x)
Quand a-t-ong0(x)>0 ? Quand f(−x)<0, c’est-à-dire−x<a, soitx>−a.
On en déduit le tableau de variations deg:
x −∞ −a +∞
g0(x) − 0 +
g(x)
Exercice2 5points
Exercice3 5points
A(n)=10×7n+2 pournentier naturel quelconque.
1. Montrer queNest congru à son chiffre des unités modulo 10 (c’est à direN ≡a0 [10])
N=10(an10n−1+an−110n−2+. . .+10a2+a1)+a0d’oùNest de la forme 10×k+a0doncN≡a0 mod 10
2. (a) CalculerA(2) etA(3) et montrer que, pour tout entier natureln,A(n) est un nombre pair
A(2)=10×72+2=492 etA3 =10×73+2=3432.A(n)=5(5×7n+1) doncA(n) est pair pour tout entier natureln
(b) Montrer que, pour tout entier natureln,A(n) est divisible par 3
7 ≡ 1 mod 3 donc 7n ≡ 1 mod 3 donc 10×7n ≡ 10 mod 3 donc 10×7n+2 ≡ 12 ≡ 0 mod 3 ainsi 10×7n+2 est divisible par 3.
(c) Déterminer le chiffre des unités deA(n)
A(n)=10×7n+2 doncA(n)≡2 mod 10 et 062<10 donc d’après la question 1., le chiffre des unités de A(n) est 2.
(d) Existe-t-il un entier naturelntel que 2012= A(n)?
Non carA(n) doit être divisible par 3 d’après 2.(b) ce qui n’est pas le cas de 2012 3. On poseB(n)= A(n)
3
(a) Soitxun entier naturel montrer l’équivalence 3x≡2 [10]⇐⇒ x≡4 [10]
Méthode 1 : 3x≡2 [10]=⇒7×3x≡14 [10]=⇒x≡4 [10] (car 7×3=21≡1 [10] et 14≡4 [10]) Réciproquement :x≡4 [10]=⇒3x≡12≡2 [10]
Méthode 2 : x≡...[10] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3x≡...[10] 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 le seul cas où 3x≡2[10] estx≡4 [10]
(b) Déterminer le chiffre des unités deB(n)
3B(n) = A(n) or A(n) ≡ 2 [10] d’après 2.(c) donc 3B(n) ≡ 2 [10] donc B(n) ≡ 4 [10] d’après la question précédente. Le chiffre des unités deB(n) est donc 4
4. On poseC(n)= A(n) 2
(a) Montrer queC(n) est un entier pair
C(n)=5×7n+1or 5×7nest impair comme 1 doncC(n) est pair comme somme de deux nombres impairs.
(b) Etudier, en fonction des valeurs de l’entier natureln, les congruences modulo 10 du nombre 7n 71≡7 [10] puis 72≡9 [10], 73 ≡3 [10] et 74≡1 [10] donc
•sin=4kalors 74k ≡1k≡1 [10] •sin=4k+1 alors 74k+1≡1×7≡7 [10]
•et sin=4k+2 alors 74k+2≡7x7≡9 [10] •et sin=4k+3 alors 74k+3≡9x7≡3 [10]
(c) Déterminer le chiffre des unités deC(n)
On peut utiliser les congruences précédentes ou bien remarquer que 7nest impair donc 5×7nest un multiple impair de 5 donc se termine par 5 d’où 5×7n+1 se termine par 6.
(d) Déterminer le chiffre des unités de C(n) 2
D’après la question précédenteC(n)=10k+6 donc C(n)
2 =5k+3 d’où :
•sikest pairC(n)
2 =5(2k0)+3=10k0+3 et le chiffre des unités deC(n)/2 est 3.
•sikest impairC(n)
2 =5(2k0+1)+3=10k0+8 et le chiffre des unités deC(n)/2 est 8.
On peut aussi compléter en examinant les congruences modulo 20 de7n: 71≡7 [20], 72≡9 [20], 73≡3 [20] et 74≡1 [20]
•sin=4kalors 74k ≡1k ≡1 [20] etC(n)=5×(20k+1)+1 doncC(n)
2 =50k+3C(n)/2 se termine par 3
•sin=4k+1 alors 74k+1 ≡1×7≡ 7 [20] etC(n)= 5×(20k+7)+1 donc C(n)
2 =50k+18C(n)/2 se termine par 8
•et sin=4k+2 alors 74k+2 ≡7x7≡9 [20] etC(n)=5×(20k+9)+1 donc C(n)
2 = 50k+23C(n)/2 se termine par 3
•et sin = 4k+3 alors 74k+3 ≡ 9x7 ≡ 3 [20] etC(n) = 5×(20k+3)+1 donc C(n)
2 = 50k+8C(n)/2 se termine par 8
En résumé : sinest pair c(n)
2 se termine par 3 sinest impair il se termine par 8 Exercice4 5points