Terminale S2 devoir de mathématiques à rendre le lundi 23 novembre 2009
exercice 1 Partie I
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x3 + 3x + 2
1. Dresser le tableau de variation de g sur R (limites justifiées)
2. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet dans R une solution unique , notée α . Justifier que − 1 < α < 0 .
3. Déterminer le signe de g sur R . Partie II
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 − 1 x² + 1 1. a. Montrer que f '(x) = x g(x)
(x² + 1)²
b. Dresser le tableau de variation de f sur R (limites justifiées) c. Vérifier que f(α) = 3
2 α
d. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point de la courbe d'abscisse 1 .
2. a. Montrer que la droite (∆) d'équation y = x est asymptote à la courbe représentative de f . b. Etudier la position relative de (∆) et de la courbe représentative de f .
exercice 2 : démonstration du théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur I contenant a et b , avec a < b .
Soit k un réel compris entre f(a) et f(b) . On suppose f(a) ≤ k ≤ f(b) .
Le but est de montrer qu'il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c) = k On construit par récurrence une suite (an) et une suite (bn)
On pose a0 = a et b0 = b . Si f
an + bn
2 ≤ k , on pose an+1 = an + bn
2 et bn+1 = bn Si f
an + bn
2 ≥ k , on pose an+1 = an et bn+1 = an + bn
2 1. Montrer que pour tout entier naturel n , f(an) ≤ k ≤ f(bn) 2. a. Montrer que pour tout entier n , bn − an = 1
2n (b0 − a0)
b. Montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes . On note c leur limite commune 3 a. Quelle est la limite des suites f((an)) et (f(bn)) ? Justifier
b. Terminer la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires
