Je suppose maintenantx dans l’intervalleIk,kentier ≥2 : a2−k(a+ 1)&lt

Enonc´e n^oA233 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je suppose d’abordx dans l’intervalleI1 d´efini par a²−a−1< x≤a².

Alorsx+a+ 1> a²,f(x+a+ 1) =x+ 1 etf(x) =f(x+ 1.

Si de plusx > a²−1,f(x+ 1) =x−a+ 1 =a²−a+ 1−(a²−x) +ba²−xc.

Ainsi sia²−1< x≤a², on af(x) =a²−a+ 1−(a²−x) +ba²−xc, mais cette expression est invariante si on y remplace x par x−1. Elle satisfait f(x) =f(x+ 1) pour toutx de l’intervalle I1.

Je suppose maintenantx dans l’intervalleI_k,kentier ≥2 : a²−k(a+ 1)< x≤a²−(k−1)(a+ 1).

Alorsx+a+ 1 est dansIk−1. Si la propri´et´e f(y) =f(y+ 1) est vraie avec y dansIk−1, on a f(x+a+ 1) =f(x+a+ 2), puisf(x) =f(x+ 1).

La propri´et´e f(x) = f(x+ 1), vraie pour I₁, s’´etend donc `a tous les I<sub>k</sub> et donc `a tous les x≤a², pour lesquels on peut donc ´ecrire

f(x) =a²−a+ 1−(a²−x) +ba²−xc.

L’´equationf(x) =b³,bentier, avecx≤a², conduit `a la condition quea²−x soit entier, et alors f(x) =a²−a+ 1.

Il faut donc r´esoudreb³ =a²−a+ 1.

Une solution est (a, b) = (7,19). Ce couple solution est unique, mais je n’en connais pas la d´emonstration, qui est difficile et non ´el´ementaire.

Donc si (a, b)6= (7,19), l’´equation f(x) =b³ n’a pas de solution. Si (a, b) = (7,19), on satisfait f(x) = b³ en prenant x entier de 1 `a a² = 49 (puisque f(x) n’est d´efinie que sur R⁺).

Plus g´en´eralement, l’´equationf(x) =a²−a+c, avec 0< c <1, est satisfaite para² valeurs de x, les valeurs de x−c´etant les entiers de 0 `a a²−1. La mˆeme ´equation, avecc >1, a la solution uniquex=a²+c.

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