Enonc´e noA534 (Diophante) Elagage jusqu’`a la racine
Trouver tous les couples d’entiers naturels (n, k) avec k > 1 tels que la racine k-i`eme denest obtenue en supprimant les kderniers chiffres den.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Soit r= √k
n. La condition de l’´enonc´e s’´ecrit r ≤n/10k= (r/10)k< r+ 1.
Cela s’´ecrit encore, `ar donn´e, lnr
ln(r/10) ≤k < ln(r+ 1) ln(r/10) et `ak donn´e
10≤(r/10)k−1<10 + 10/r≤10 + 10−1/(k−1),
le membre de droite r´esultant de la majoration de 10/r `a partir de l’in´egalit´e de gauche, puis
10k/(k−1)≤r <10k/(k−1)(1 + 10−k/(k−1))1/(k−1).
On voit quer etkvarient en sens inverse. Un tableur fournit les encadre- ments suivants pour les premi`eres valeurs der (r >10) ou dek.
r kmin kmax k rmin rmax
11 25,16 26,07 2 100 101 12 13,63 14,07 3 31,62 32,12 13 9,78 10,06 4 21,54 21,87 14 7,84 8,05 5 17,78 18,03 15 6,68 6,84 6 15,85 16,04 16 5,90 6,03 7 14,68 14,84
On voit que les cas r= 15, k= 4 et k= 7 ne fournissent pas de solution (intervalle ne contenant pas d’entier). Les huit couples (n, k) satisfaisant l’´enonc´e correspondent `a
1002 = 10000, 323 = 32768, 185 = 1889568, 166 = 16777216, 148 = 1475789056, 1310= 137858491849, 1214= 1283918464548864,
1126= 1191817653772720942460132761.
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