Examen du 24 juin 2010 Module LM346 - Dur´ee: 2h
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Les deux exercices sont ind´ependantes.
Exercice I. Pourα, β >0 fix´es, on s’interesse `a la loizα,β,de densit´e
f(x) = βα
Γ (α)xα−1exp (−βx)1x≥0, o`u Γ (α) = Z ∞
0
xα−1exp (−x)dx.
1. On suppose d’abord queα <1.On va effectuer une simulation d’une v.a.
de loizα,β par la m´ethode du rejet. On consid`ere pour cel`a la fonction g(x) =cα,β xα−110≤x≤1+ exp (−βx)1x>1
. (1) Calculercα,β pour queg soit une densit´e de probabilit´e.
(2) Proposer une mani`ere de simuler la loi de densit´e g(x) en utilisant la m´ethode de la fonction de r´epartition inverse.
(3) Trouver une constantec >1 telle que pour toutxdansR, f(x)≤cg(x).
(4) Simuler une v.a. de loizα,β. 2. On suppose maintenant queα >1.
(1) Montrer que si n∈N∗,si U1, ..., Un sont des v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0,1],alors
Y =−1
βln (U1×...×Un) a pour loizn,β.
(2) En d´eduire un algorithme de simulation d’une v.a. de loizα,β.Indication:
On note [α] sa partie enti`ere. On pourra utiliser une d´ecomposition α= [α] + (α−[α])avec α0=α−[α]<1et on pourra utiliser, sans le red´emontrer, que si X et Y sont des v.a. ind´ependantes de loi respectives z[α],β et zα−[α],β,alors Z=X+Y a pour loi zα,β.
Exercice II.On consid`ere la chaˆıne de Markov (Xn) `a valeurs dans{−2,−1,1,2}, d`efinie pour toutn≥1 par:Xn =−signe(Xn−1)Zn,o`u lesZnsont ind´ependantes et identiquement distribu´ees avec P(Z1 =−1) =P(Z1 = 2) = 14, P(Z1= 1) =
1
2 et avec la convention: signe(x) = 1 six >0 etsigne(x) =−1 si x <0.
(1) Donner la matrice de transition P et le graphe de transition de cette chaˆıne.
(2) La chaˆıne est-elle est irr´eductible? ap´eriodique?
(3) D´eterminer la (les) probabilit´e(s) invariante(s)π= (π1, π2, π3, π4) de la chaˆıne.
(4) Montrer que la proportion du temps que la suiteXnpasse dans l’ensemble {−1,1,2} converge vers 78 quand le temps d’observation tend vers l’infini.
1
