Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2007-2008
Licence LM335 2nd semestre
juin 2008
dur´ee : 2 heures
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r´esoudre chaque probl`eme sur une feuille s´epar´ee
Exercice 1 On d´efinit la matrice A et les vecteurs ei
A=
1 1 −1
0 1 2
−1 −1/2 0
, e1 =
1 0 0
, e2 =
0 1 0
, e3 =
0 0 1
.
1. Effectuer la d´ecomposition LU de la matrice A.
2. Utiliser cette d´ecomposition pour d´eterminer des vecteurs x1,x2 et x3
solutions respectives des syst`emes Axi =ei.
3. En d´eduire la solution du syst`eme Ax = b o`u b = (α, β, γ)T est un vecteur donn´e de R3.
Exercice 2 Dans ce probl`eme, toutes les matrices sont r´eelles de taillen×n et tous les vecteurs dans Rn. On note σ(X) le spectre de la matrice carr´ee X.
1. Soient C une matrice sym´etrique semi-d´efinie positive de taille n×n et γ un r´eel strictement positif.
(a) Montrer que la matrice (γI+C) est inversible.
(b) Montrer que les matrices γI −C et (γI +C)−1 commutent. En d´eduire que la matrice D= (γI −C)(γI+C)−1 est sym´etrique.
1
(c) i. Exprimer les valeurs propres de la matrice Den fonction des valeurs propres de la matriceC. Montrer quekDk2 ≤1. Mon- trer l’´equivalence :kDk2 = 1⇐⇒1∈σ(D).
ii. Soit a∈Rn tel que kak2 = 1 et kDak2 = 1. En d´ecomposant a et Da dans une base appropri´ee de vecteurs, montrer que Da=a, puis quea ∈kerC.
2. Soit A = C1 +C2 une matrice sym´etrique d´efinie positive somme de deux matrices sym´etriques semi-d´efinies positivesC1 etC2. Pourb ∈Rn et x(0) ∈Rn donn´es, on d´efinit la suite (x(k))k∈N par :
(∀k∈N)
((γI +C1)x(k+12)= (γI−C2)x(k)+b (γI +C2)x(k+1)= (γI−C1)x(k+12)+b.
(a) Trouver une matriceB et un vecteur c∈Rn tels que l’on ait (∀k ∈N) x(k+1) =Bx(k)+c.
(b) Montrer que la matrice B est semblable `a la matriceD1D2. (c) Montrer que %(B)≤1.
(d) On suppose dans cette partie que %(B) = 1. L’objet de cette question est de montrer que%(B)<1 en raisonnant par l’absurde.
(On pourra utiliser la partie 1(c)pour r´epondre aux questions.) i. Justifier l’existence d’un vecteur a∈Rn tel que kD1D2ak2 =
kak2 = 1. Montrer que kD2ak2 = 1.
ii. En d´eduire quea ∈kerC1∩kerC2. iii. Conclure.
(e) Montrer que la suite (x(k))k∈N converge. Quelle est sa limite ?.
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