Expression asymptotique des valeurs propres d'une matrice de Toeplitz à symbole réel.

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Preprint submitted on 22 Apr 2021

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Expression asymptotique des valeurs propres d’une matrice de Toeplitz à symbole réel.

Philippe Rambour

To cite this version:

Philippe Rambour. Expression asymptotique des valeurs propres d’une matrice de Toeplitz à symbole réel.. 2017. �hal-01234115v4�

Expression asymptotique des valeurs propres d’une matrice de Toeplitz ` a symbole r´eel.

Philippe Rambour^∗

R ´ESUM ´E

Expression asymptotique des valeurs propres d’une matrice de Toeplitz `a symbole r´eel.

Ce travail donne deux r´esultats que nous obtenons `a partir d’une formule d’inversion des matrices de Toeplitz `a symbole r´eel, qui a ´et´e ´etablie dans un pr´ec´edent article. Le premier de ces r´esultats donne une expression asymptotique des valeurs propres minimales d’une matrice de ToeplitzTN(f) o`uf est une fonction p´eriodique, paire et d´erivable sur [0,2π[.

Ensuite, nous d´emontrons qu’une matrice de Toeplitz bande de tailleN×Ndont le symbole n’admet pas de z´eros complexes de module un est inversible et que son inverse quandN tend vers l’infini est une matrice bande, `a des termesn´egligeables pr`es. Une cons´equence de ce dernier r´esultat est une estimation asymptotique des coefficients de l’inverse d’une matrice de Toeplitz `a symbole r´egulier.

ABSTRACT

Asymptotic expression of the eigenvalues of a Toeplitz matrix with a real symbol.

This work provides two results obtained as a consequence of an inversion formula for Toe- plitz matrices with real symbol. First we obtain an asymptotic expression for the minimal eigenvalues of a Toeplitz matrix with a symbol which is periodic, even and derivable on [0,2π[. Next we prove that a Toeplitz band matrix with a symbol without zeros on the united circle is invertible with an inverse which is essentially a band matrix. As a conse- quence of this last statement we give an asymptotic esimation for the entries of the inverse of a Toeplitz matrix with a regular symbol.

Mathematical Subject Classification (2000) Primaire 47B35 ; Secondaire 47B34.

Mots clef

Matrices de Toeplitz, valeurs propres , formule d’inversion, matrices de Toeplitz bandes.

1 Introduction

En toute g´en´eralit´e, on dit qu’une matrice N ×N est une matrice de Toeplitz d’ordre N s’il existe 2N −1 nombres complexes a_−(N−1), a_−(N−2),· · ·, a−1, a0, a1,· · ·, a_N−2, a_N−1 tels

∗Universit´e de Paris Sud, Bˆatiment 425; F-91405 Orsay Cedex; tel : 01 69 15 57 28 ; fax 01 69 15 60 19 e-mail : philippe.rambour@math.u-psud.fr

que (TN)_i,j =aj−i, pour 1≤i, j≤N.

Rappelons que si f est une fonction de L¹(T) (avec T = R/2πZ), on appelle matrice de Toeplitz d’ordre N de symbole f, et on note T_N(f), la matrice (N + 1)×(N + 1) telle que (TN(f))_k+1,l+1= ˆf(k−l) ∀k, l 0≤k, l≤N o`u ˆh(j) d´esigne le coefficient de Fourier d’ordre j d’une fonction h (une bonne r´ef´erence peut ˆetre [2]). Dans la premi`ere partie de ce travail, on s’int´eresse `a l’expression asymptotique lorsqueN tend vers l’infini des valeurs propres des matrices de ToeplitzTN(f) o`uf est une fonction p´eriodique, paire, d´erivable.

Quand on a affaire `a un symbole positif, born´e et int´egrable, il est connu que ces valeurs propres sont ´equidistribu´ees au sens de Weyl avec les quantit´es f(−π+ _N^2jπ₊₁), 1 ≤ j ≤ N. Rappelons que deux familles de sous-ensembles de R,

µ^(N)_j N

j=1 et

κ^(N_j ⁾N

j=1 sont dites

´

egalement distribu´ees au sens de Weyl si pour toute fonction h appartenant `a C(R) on a

N→∞lim 1 N

N

X

j=1

f(µ^(N)_j )−f(κ^(N)_j )

= 0 (on peut consulter [2] et [6] sur ces questions). Notre ar- ticle compl`ete des travaux pr´ec´edents ([15]) o`u l’on a consid´er´e des fonctionsf ∈L¹(T) paires, positives et strictement monotones sur [0, π]. Le th´eor`eme 2 est une extension de ce travail

`

a des fonctions qui sont paires et d´erivables, mais plus n´ecessairement monotones. Ceci peut ˆ

etre reli´e `a ce qu’on sait sur les valeurs propres deT<sub>N</sub>(|P|<sup>2</sup>) lorsque P est un polynˆome trigo- nom´etrique de degr´e un. Ces valeurs propres sont alors de la forme|P(ξ+<sub>N</sub><sup>jπ</sup><sub>+1</sub>)|<sup>2</sup>, 1≤j≤N+1 ([6]) o`u|P(ξ)|² est le minimum de |P|². Le th´eor`eme 2 est ´egalement conforme `a la conjecture de Whittle ([19],[4]), qui annonce que pour certains des symboles positifsθ7→h(e^iθ) v´erifiant les hypoth`eses du th´eor`eme 2 par exemple les densit´es spectrales des processus ARIMA (voir [1]) les valeurs propres deT_N(h) sont en fait de la formeh(e^ikπ/N).

On sait ([6]) que si f ∈ L¹(T) est une fonction positive, alors les valeurs propres de TN(f) sont comprises entre le minimum et le maximum de f sur le tore. En particulier, la valeur propre minimale de T_N(f) tend vers le minimum de f quand N →+∞. Obtenir dans ce cas une approximation plus pr´ecise de cette valeur propre minimale est un probl`eme sp´ecifique qui a fait l’objet de nombreux travaux. On peut voir par exemple [17],[10], [11], [20],[18] pour une approche directe, et [3], [16], [12] pour une m´ethode qui consiste `a calculer la plus grande valeur propre de la matrice inverse.

Dans ce travail, nos d´emonstrations sont bas´ees sur une formule d’inversion des matrices de Toeplitz `a symbole r´eel, formule qui a ´et´e ´etablie dans [13], qui g´en´eralise les m´ethodes d’inver- sion classiques concernant les matrices de Toeplitz `a symbole positif, et qui est mieux adapt´ee

`

a la situation. Une telle g´en´eralisation a ´egalement ´et´e utilis´ee dans [5]

Dans la seconde partie de l’article, nous utilisons cette formule pour obtenir un r´esultat sur l’inverse des matrices de Toeplitz bandeT_N dont le symbole est une fonctionθ7→

n0

X

j=−n₀

a_je^ijθ

telle que θ 7→

n0

X

j=−n0

aje^i(j+n0)θ ne s’annulant pas en z´ero (voir le th´eor`eme 3). Si le nombre de racines de module strictement sup´erieur `a 1 est ´egal au nombre de racines de module strictement inf´erieur `a 1, nous d´emontrons que l’inverse d’une telle matrice de Toeplitz est asymptotiquement une matrice bande, au sens o`u lorsque |k−l| est suffisamment grand, le coefficient (T_N)⁻¹_k,l est d’ordre ρ^|k−l| pour une constante ρ comprise strictement entre 0 et 1.

Nous obtenons ´egalement une approximation des termes de l’inverse proches de la diagonale.

Rappelons que de nombreux algorithmes de calcul permettent de calculer num´eriquement l’in- verse des matrices de Toeplitz bande, notamment pour des expos´es r´ecents, ([7], [9]). Comme cons´equence de ce dernier r´esultat nous obtenons, grˆace `a une approximation polynomiale, une expression asymptotique lorsquek−ltend vers l’infini des coefficientsT<sub>N</sub><sup>−1</sup>(ψ) o`uψest un symbole r´egulier, (on appelle fonction r´eguli`ere une fonction deL<sup>1</sup>(T) strictement positive sur le toreT). Enfin sihest une fonction positive dansL<sup>1</sup>(T), le polynˆome pr´edicteur de degr´eM associ´e `a hest le polynˆome trigonom´etriqueP_M :θ7→

M

X

u=0

β_u,Me^iuθ o`u β_u,M = (^TM⁻¹(h))⁾(u,1)

q(^TM⁻¹(h))⁾(1,1)

. On sait que P_M v´erifie la propri´et´e suivante :

Propri´et´e 1 pour tout entier s, −M ≤s≤M on a ˆh(s) = \1

|P_M|²(s).

Pour les polynˆomes pr´edicteurs, le lecteur pourra se r´ef´erer `a [8].

Dans le paragraphe suivant, nous allons rappeler les notations utilis´ees et expliciter la formule d’inversion utilis´ee ici.

2 Formule d’inversion

2.1 Rappel des notations

Dans toute la suite, nous noterons par χ la fonction de [0,2π[ dansC d´efinie parθ7→ e^iθ et nous noterons P_N l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques de degr´e inf´erieur ou ´egal `a N et P_[−N,N] le sous-espace vectoriel de L¹(T engendr´e par les fonctions χ^j −N ≤ j ≤ N. Nous consid´ererons ´egalement les sous-espaces suivants deL²(T) (espaces de Hardy),

1.

H⁺(T) ={ψ∈T|u <0⇒ψ(u) = 0},ˆ 2.

H⁺(T)⊥

={ψ∈T|u≥0⇒ψ(u) = 0},ˆ 3.

H^∞(T) =H⁺(T)∩L^∞(T).

o`uL<sup>∞</sup>(T) est l’espace des fonctions mesurables born´ees presque partout pour la mesure de Lebesgue, muni de la distance d∞ associ´ee `a la norme k.k_∞ d´efinie pour toute fonctionψ dansL¹(T) par kψk∞= sup_θ∈[0,2π[|f(θ)|.

On peut alors d´efinir π_N, π₊, π−, les projections respectives de L²(T) sur P_N, H⁺(T) et (H⁺(T))^⊥.

Si maintenant g1 est un ´el´ement de H⁺(T) et g2 un ´el´ement tel que ¯g2 ∈ H⁺(T), on pose Φ_N =χ^N+1g_g¹

2 et ˜Φ_N =χ^−N−1g_g²

1 et on d´efinit les op´erateurs de HaenkelH_ΦN etH_Φ˜

N par HΦN :H⁺(T)→ H⁺(T)⊥

ψ7→π−(ΦNψ)

et

HΦ˜N : H⁺(T)⊥

→H⁺(T) ψ7→π+( ˜Φ_Nψ).

2.2 La formule d’inversion proprement dite

Classiquement, on sait calculer explicitement les coefficients de l’inverse d’une matrice de Toeplitz de symbole positiff qui v´erifie lnf ∈L¹(T). Ces formules utilisent fortement le fait qu’une telle fonction f peut s’´ecrire f = g¯g avec g ∈H⁺(T) ([14]). Certains probl`emes, no- tamment la recherche des valeurs propres, n´ecessitent d’inverser des matrices de Toeplitz dont le symbole n’est pas n´ecessairement positif (voir, par exemple, [17] [15]). Pour ce faire, nous allons consid´erer des fonctionsf qui ne s’annulent pas sur le tore admettant une d´ecomposition f =g1g2, avec g1, g<sub>1</sub><sup>−1</sup>∈H<sup>+</sup>(T), ¯g2,g¯<sub>2</sub><sup>−1</sup> ∈H<sup>+</sup>(T). Nous pouvons alors ´enoncer le th´eor`eme : Th´eor`eme 1 Si la fonction f est comme ci-dessus, on suppose que les fonctions g₁ et g₂ v´erifient,

N→+∞lim d∞

1

|g₂|²,P_[−N,N

= 0 et d∞

1

|g₁|²,P_[−N,N]

<+∞

ou

N→+∞lim d∞

1

|g₁|²,P_[−N,N]

= 0 et d∞

1

|g₂|²,P_[−N,N]

<∞ alors, pour N suffisamment grand,

1. l’in´egalit´ekH_Φ˜

NH_ΦNk₂ <1est v´erifi´ee (ce qui assure bien sˆur l’inversibilit´e de l’op´erateur I−HΦ˜NHΦN),

2. la matrice TN(f) est inversible, 3. pour tout polynˆome Qdans P_N, on a

T_N⁻¹(f)(Q) =π₊(Qg₂⁻¹)g⁻¹₁ −π₊

(I−H_Φ˜

NH_ΦN)⁻¹π₊

π₊(Qg₂⁻¹) ˜Φ_N Φ_N

g₁⁻¹. Ce th´eor`eme a ´et´e obtenu dans [13] pour inverser des matrices `a blocs que nous interpr´etons comme des matrices de Toeplitz tronqu´ees dont le symbole est une fonction matricielle conte- nue dans L²_Mn(T) = {M : T → M_n(C)

R

TkMk²₂dσ < +∞}, o`u kMk<sub>2</sub> = [Tr(M M<sup>∗</sup>]<sup>1/2</sup> et o`u σ est la mesure de Lebesgue su le tore T. N´eanmoins, il est facile de v´erifier qu’avec les hypoth`eses que nous nous sommes donn´ees (voir [13], lemme 7.1.5 et corollaire 7.1.6), la d´emonstration se transpose sans difficult´e au cas des matrices de Toeplitz dont le symbole est une fonction de Tdans C. Nous allons appliquer cette formule pour inverser des matrices de Toeplitz d’ordre N dont le symbole f v´erifief(χ) =Cg1(χ)g2( ¯χ) o`u C est une constante et g₁ et g₂ deux fractions rationnelles `a coefficients complexes dont les z´eros et les pˆoles sont de module strictement inf´erieur `a 1. Nous avons alors facilement la proposition suivante, que nous utiliserons pour ´etablir nos r´esultats.

Proposition 1 Les fonctions g₁ et g₂ etant dans´ C^∞(T) elles v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme 1, et doncTN(f) est inversible.

3 Une application aux valeurs propres des matrices de Toeplitz

Th´eor`eme 2 On consid`ere une fonction f, paire, 2π p´eriodique, de classe C^∞([0, π]). Pour tout λ dans [minθ∈[0,π],maxθ∈[0,π]] on suppose qu’il existe rλ r´eels, distincts ou non, not´es θ1, . . . , θr_λ et une fonction G_λ continue et strictement positive sur [−π, π] tel que, pour tout θ∈[0, π]on ait

f(θ−λ) =

r

Y

j=1

(cosθ−cosθ_r)G_λ(θ).

On suppose de plus qu’il existe un unique r´eel θ₀ dans [0,2π[tel que f(θ₀) = min_θ∈[0,2π[f(θ).

Alors pour N assez grand les valeurs propres deTN(f) sont de la formef kπ

N+2+ ^θN,k_N^π) avec |θ_N,k|< 1 . En cons´equence les plus petites valeurs propres de T_N(f) sont de la forme f

kπ

N+2 +^θN,k_N^π)

avec lim

N→+∞

kπ

N + 2 =θ₀ et |θ_N,k|<1 .

Preuve : On peut toujours se ramener `a f ≥ 0. Si m et M d´esignent respectivement le minimum et le maximum de f sur le tore T, consid´erons un r´eel λ v´erifiant m ≤ λ ≤ M tel qu’aucun des ant´ec´edents de λ par f n’appartienne `a J_f ∪ {0, π}. Si f₁ est la fonction d´efinie par la relation f(θ) = f1(1−cosθ), on notera {λ₁⁰,· · ·, λ⁰_r} l’ensemble f₁⁻¹{λ}. Pour tout entier j, 1 ≤ j ≤ r on peut ´ecrire (1−cosθ)−λ⁰_j = ¹₂

|1−χ|²−2λ⁰_j

. En posant χ_λ⁰

j = (1−λ⁰_j) +iq

1−(λ⁰_j−1)² on peut ´ecrire cette ´equation sous la forme (1−cosθ)−λ⁰_j =

−¹₂χ_λ⁰

j(1−χ_λ⁰

jχ)(1−χ_λ⁰

jχ).¯ D’apr`es les hypoth`eses de notre ´enonc´e, il existe une fonction H_λ(θ) 2π-p´eriodique strictement positive sur [0,2π[, etr complexes distincts tels que

f−λ=(−1 2)^r





r

Y

j=1

χ_λ⁰

j(1−χ_λ⁰

jχ)(1−χ_λ⁰

jχ)¯



H_λ

avec ∈ {−1,1}. Nous pouvons finalement ´ecrire que TN(f−λ) =TN( ˜fλ) avec f˜_λ =C₁(1−χ_λ⁰

1χ)(1−χ_λ⁰

1χ)¯ · · ·(1−χ_λr⁰χ)(1−χ_λ⁰_rχ)¯ 1

|P_N+r,λ|²

o`uC1 est une constante etPN+r,λ le polynˆome pr´edicteur de degr´eN+r assoc´ı´e `a la fonction H_λ. Pour R∈]0,1[ posons maintenant

f_λ,R=C₁

r

Y

j=1

(1−Rχ_λ⁰

jχ)(1−Rχ_λ⁰

jχ)¯ 1

|P_N+r,λ|². (1) Pour faire un calcul d’inverse pr´ecis nous allons utiliser le corollaire 1 et le lemme ??qui est

´

enonc´ee ici et d´emontr´ee dans l’appendice de cet article.

Lemme 1 Si f est une fonction r´eguli`ere appartenant `a A(T, s) avec s > ³₂, et k un entier dans [0, N], nous avons β_k,N =g\⁻¹(0)g\⁻¹(k) +O(N^−s), o`u g est la fonction de H<sup>+</sup> telle que f =g¯g, et o`u β_k,N est le coefficient deχ^k dans le lynˆome pr´edicteur def.

D’apr`es les hypoth`eses il existe deux r´eels 0 < τ1 < 1 < τ2 quel que soit λ dans [m, M]

la fonction H_λ est la restriction au tore d’une fonction strictement positive sur la couronne {z|τ₁ <|z|< τ₂}Le corollaire??permet donc d’´ecrire qu’on peut consid´erer que pourN assez grandPN+r,λ est tr`es proche d’un polynˆome de degr´e´e fini N0, l’entierN0 ´etant ind´ependant de λ. En effet en utilisant la propri´et´e ?? on peut montrer que les N₀ premiers termes des polynˆomes pr´edicteurs S’approchent de quantit´es fixes quand N est assez grand. Ces deux r´esultats nous permettent d’´ecrire que pour >0 fix´e il existe un entier N que pour tout λ⁰ dans [0,2] on ait un polynˆome de degr´eN₀, not´e P_N0,λ tel que

θ∈[0,2π[max

PN+r,λ(e^iθ)−PN0,λ(e^iθ) ≤. Posons maintenant

f_0,λ=C₁(1−χ_λ⁰

1χ)(1−χ_λ⁰

1χ)¯ · · ·(1−χ_λr⁰χ)(1−χ_λ⁰_rχ)¯ 1

|P_N0,λ|² et

f_0,λ,R =C₁(1−Rχ_λ⁰

1χ)(1−Rχ_λ⁰

1χ)¯ · · ·(1−Rχ_λr⁰χ)(1−Rχ_λ⁰_rχ)¯ 1

|P_N0,λ|²

Nous pouvons remarquer que si TN(f0,λ) est inversible alorsTN( ˜fλ) l’est aussi. En effet on a kT_N( ˜f_λ)−TN(f_0,λ)k ≤2πet

T_N( ˜f_λ) =T_N(f_0,λ)

1−T_N(f_0,λ)⁻¹

T_N(f_0,λ)−T_N( ˜f_λ) .

Nous allons maintenant pr´eciser les coefficients intervenant dans le calcul deT_N⁻¹(f_0,λ)_k+1,l+1. Pour cela nous allons d’abord calculer les coefficients correspondants de T_N⁻¹(f0,λ,R). Nous avons la d´ecomposition f0,λ,R = C1g1,0,λg2,0,λ avec g1,0,λ =

r

Y

j=1

(1−Rχ_λ⁰

jχ) 1 PN0,λ

et g2,0,λ =

r

Y

j=1

(1−Rχ_λ⁰

jχ)¯ 1

P¯_N0,λ. Le th´eor`eme 1 permet d’affirmer que TN(f<sub>0,λ</sub>) est inversible en se sou- venant que les racines deP<sub>N0,λ</sub> sont toutes de module strictement sup´erieur `a 1 (voir [8]). En utilisant la d´ecomposition en ´el´ements simples des fractions rationnelles nous pouvons ´ecrire

1 g_1,0,λ =

r

X

j=1

Aj

1−ω_j,λ,RχPN0,λ, 1 g_2,0,λ =

r

X

j=1

Aj

1−ω_j,λ,Rχ¯P¯N0,λ, avecω_j,λ,R=Rχ_λ⁰

j. Dans la suite, pour all´eger les notations nous noterons par simplementω_j la quantit´e ω_j,λ,R, et parP_N0 le plolynˆome P_N0,λ.

Posons maintenant π₊ χ^k

g2,0,λ

=

k

X

s=0

γ_sχ^s, la quantit´e x_k,R = π₊ π₊

χ^k g2,0,λ

Φ˜_N

s’´ecrit x_k,R =

k

X

s=0

γ_sπ₊

χ^s−N−1 g1,0,λ

g_2,0,λ

. En calculant il vient

xk,R=

k

X

s=0

γs r

X

j=1

π+

A_jχ^s−N−1Q( ¯χ) (1−ωjχ)

PN0(χ) P¯_N0( ¯χ)

en posant Q(z) =

r

Y

n=1

(1−ωn(z)). On obtient finalement :

x_k,R=

r

X

j=1

Aj k

X

s=0

γsω_j^N+1−s

! Q(ωj) (1−ω_jχ)

P_N0(ω⁻¹_j ) P¯N0(ωj) .

Six_l,R=π+

π+

χ^l

¯ g1,R

Φ¯N

, en posantπ+

χ^l

¯ g_1,R

=

l

X

s=1

γ_s⁰χ^sun mˆeme calcul que pr´ec´edemment permet d’´ecrire

x_l,R =

r

X

j=1

A¯j l

X

s=0

γ_s⁰ω^N+1−s_j

! Q(¯ωj) (1−ω¯_jχ)

P¯N0(ωj) PN0(ω_j⁻¹).

Notons maintenant, H_N,λ,R l’op´erateur HΦ˜_N,λ,RH_ΦN,λ,R, o`u HΦ˜<sub>N,λ,R</sub> et H<sub>ΦN,λ,R</sub> sont les deux op´erateurs de Haenkel d´efinis `a partir de la d´ecomposition (1). Dans la suite on posera H_N,λ la limite quandR tend vers 1 par valeurs inf´erieures deH_N,λ,R. Nous avons, en posant Q_m(z) =

r

Y

n=1,n6=m

(1−ω_nz), pour tout entierm, 1≤m≤r, et z∈C,

HΦN

1 1−ωjχ

=π−

g_1,0,λ

g_2,0,λ(1−ωjχ)χ^N+1

=π− r

X

h=1

Ah

Q_j(χ)χ^N+1 (1−ω_hχ)¯

P¯N0( ¯χ) PN0(χ)

!

=

r

X

h=1

Ah

Qj(ω_h)ω_h^N+1 (1−ωhχ)¯

P¯N0(ω_h⁻¹) PN0(ωh) et

HΦ˜N

1 1−ω_hχ¯

=π+

g_2,0,λ

g_1,0,λ(1−ω_hχ)¯ χ^−N−1

=π+ r

X

i=1

Ai

Qh( ¯χ)χ^−N−1 (1−ω_iχ)

PN0(χ) P¯_N0( ¯χ)

!

=

r

X

h=1

A_iQ_h(ω_i)ω^N_i ⁺¹ (1−ω_iχ)

P_N0(ω_i⁻¹) P¯N0(ωi)

Si H_N,λ,R d´esigne la matrice de H_N,λ,R dans la base {_1−ω¹

1χ,· · ·,_1−ω¹

rχ} les coefficients de H_N,λ,R sont donc

(H_N,λ,R)_i,j =A_i

r

X

h=1

A_hω^N_h⁺²ω^N_i ⁺²B_h,j(ω_h, ω_i), 1≤i, j≤r (2) avec

B_h,j(ω_h, ωi) =Qj(ω_h)Q_h(ωi)

P¯_N0(ω⁻¹_h )P_N0(ω_i⁻¹) PN0(ωh) ¯PN0(ωi) .

Nous pouvons aussi ´ecrire :T_N⁻¹(f_0,λ,R)T_N(f_0,λ) =T_N⁻¹(f_0,λ,R)T_N(f_λ,R)+T_N⁻¹(f_0,λ,R) (T_N(f_0,λ)−f_0,λ,R)). Il est d’autre part clair que pourN fix´e, nous avons lim

R→1⁻TN(f_0,λ,−f_0,λ,R) = 0. On en d´eduit que si lim

R→1⁻T_N⁻¹(f_0,λ,R) existe, alors lim

R→1⁻T_N⁻¹(f_0,λ,R)T_N(f_0,λ)) = 1 et lim

R→1⁻T_N(f_0,λ)T_N⁻¹(f_0,λ,R) = 1,

c’est `a dire que si cette limite existe on a lim

R→1⁻T_N⁻¹(f0,λ,R) = T_N⁻¹(f0,λ). Puisque les limites

R→1lim⁻x_k,Ret lim

R→1⁻x_l,Rexistent et sont finies, si (I−H_N,λ) est inversible, alors lim

r→1⁻h(I−H_N,λ,R)⁻¹x_k,R|x_l,Ri sera une somme finie de termes _1−χ¹

λ0 jχ_λ0

h

, qui sont d´efinis puisque les hypoth`eses sur λ im- pliquent queχ_λ⁰

jχ_λ⁰

h 6= 1 (remarquons que le fait quef⁻¹(λ)6∈ {0, π}implique que pour tout i, 1≤i≤r χ_λi 6=−1,1)

On conclut qu’un r´eel λ /∈f⁻¹(J) sera une valeur propre de T_N(f_0,λ) si et seulement si le C-uplet (χ_λ⁰

1,· · · , χ_λ⁰_r) est solution de l’´equation :

det (I−HN,λ) = 0. (3)

En d´eveloppant D_N,λ = det (I−H_N,λ) par rapport `a la premi`ere ligne, on obtient une expression de la forme

D_N,λ= 1−

r

X

i=0

( ¯χ_λ⁰

i)^2N+4A_i,i+d₀(χ_λ⁰

1,· · ·, χ_λ⁰_r) (4) o`u d₀ est une fonction en χ_λ⁰

1,· · ·, χ_λ⁰_r et A_j,j =A²_jQ²_j(ω_j)

P¯N+r(χ_λ⁰

j)PN+r(χ_λ⁰

j) P¯N+r( ¯χ_λ⁰

j)PN+r( ¯χ_λ⁰

j), c’est `a dire que les coefficientsAj,j sont non nuls. L’´equation (3) se ram`ene donc `a

¯ χ^2N_λ0 ⁺⁴

1 =d(χ_λ⁰

1,· · · , χλ⁰_r) (5) o`u d est une fonction enχ_λ⁰

1,· · · , χ_λ⁰_r et o`u on a suppos´e, pour fixer les id´ees, que A1,1 6= 0.

On a donc n´ecessairement :

χ_λ⁰

1 =e^{i(2N+4θN,λ+2N+42kπ )}

avec 0≤k≤2N + 3 et o`u θ_N,λ d´esigne une d´etermination de l’argument de d(χ_λ⁰

1,· · ·, χ_λ⁰_r) (on prend une d´etermination de l’argument comprise entre [0,2π[). De plus l’´ecriture

χ_λ⁰

1 = (1−λ⁰₁) +i q

1−(λ⁰₁−1)² (6)

implique qu’en fait 0≤k≤N + 1. On obtient donc finalement : λ⁰₁= 1−cos

θ_N,λ

2N + 4+ kπ N + 2

, 0≤k≤N + 1 (7)

ce qui conduit au r´esultat. 2

4 Une application ` a l’inversion de certaines matrices de Toe- plitz bandes

4.1 Enonc´e du th´eor`eme

Dans cette partie on ´etudie des matrices de ToeplitzT_N telles qu’il existe un entier naturel n₀ v´erifiant la condition : |k−l| > n₀ ⇒ (T_N)_k,l = 0, et l’on suppose a_j = ¯a−j. pour tout

entier j. Pour tout entierj compris entre−n₀ etn0, on pose : aj = (TN)_k,k+j. La matriceTN

admet alors pour symbole la fonction φd´efinie sur le tore par φ(e^iθ) =

n0

X

n=−n0

a_ne^inθ.

On pose pour tout complexe z : K(z) =

n0

X

n=−n0

a_mz^(m+n0). Dans la suite, on supposera que K n’admet que des racines de module diff´erent de 1 et que K admet n₀ racines de module inf´erieur `a 1 et n0 racines de module sup´erieur `a 1. On noteraαi les racines de K qui sont de module strictement inf´erieur `a 1, compt´ees avec leur ordre de multiplicit´e not´e s_i. Nous avons bien sˆurK(χ) =C

σ

Y

i=1

(χ−α_i)^si

σ

Y

j=1

(χ−α⁻¹_j )^sj avec

σ

X

i=1

s_i =n₀. Dans la suite on supposera C= 1 et on ´ecrira φ(χ) =g₁g₂ avec

g₁= (−1)^j

σ

Y

j=1

α⁻¹_j

sj

Y

h=1

(1−α¯_jχ)^mj, g₂ =

σ

Y

i=1

(1−α_iχ)¯ ^si. Nous avons :

1 g1

=

σ

X

j=1 sj

X

h=1

K_h,j (1−αjχ)^h

! , et

1 g2

=

s

X

i=1 si

X

t=1

Ht,i

(1−αiχ)¯ ^t

! . Nous pouvons maintenant donner l’´enonc´e suivant :

Th´eor`eme 3 Si TN est une matrice de Toeplitz bande v´erifiant les hypot`eses pr´ec´edentes, nous avons alors

i) T_N est inversible

ii) Si |k−l|=N x, 0< x <1 alors pour tout r´eel a∈]0,1[on a T_N⁻¹

k+1,l+1 =o(ρ^a|k−l|) pour tout r´eel ρ tel que1> ρ >max{|α_i|,1≤i≤s}.

Dans la suite de ce travail, pour tous les entiers n_i nous d´esignerons par E_n le sous espace vectoriel des fonctions de T dansR engendr´e par les fractions rationnelles _(1−¯α¹

jχ)ⁿ pour 1≤ n≤mj 1≤j≤m. Nous pouvons maintenant ´enoncer et d´emontrer un lemme pr´eparatoire.

4.2 Un lemme pr´eparatoire

Lemme 2 Avec les hypoth`eses et les notations d´efinies ci-dessus, on d´efinit E comme la somme des E_ni, 1≤i≤s. Alors E est stable par H_Φ˜

NH_ΦN.

Preuve : Nous devons donc calculer HΦ˜NHΦN(ψ) avec ψ = _(1−¯α¹

jχ)ⁿ, 1 ≤ n ≤ mj un

´

el´ement deE. On peut se ramener `a ψ= _(1−˜¹

β1χ)ⁿ, 1≤n≤m1. On a HΦN(ψ) =π−

Bχ^N+1+S(1−α¯1χ)^s1−n· · ·(1 ¯αmχ)^sσ) (1−α1χ)¯ ^s1· · ·(1−αsχ)¯ ^sσ)

.

Il est clair que, via la d´ecomposition en ´el´ements simples de _(1−α ¹

1χ)¯ ^s1···(1−αsχ)¯ ^sσ),la quantit´e H_ΦN(ψ) est combinaison lin´eaire de termes π−

χ^r (1−α_iχ)¯ ^m

avec 1 ≤ m ≤ si, 1 ≤ i ≤ σ, r=O(N).HΦ_N(ψ) est combinaison lin´eaire de termesπ−

χ^r (1−α_iχ)¯ ^m

. On peut remarquer que _(1−¯χα¹

i)^m =

∞

X

u=0

α^u_iχ¯^uτ_m(u) avec τ_m(u) = (u+m−1)· · ·(u+ 1) si m >1 et τ_m(u) = 1 sim= 1.

On obtient alors facilement que π−

χ^r (1−α_iχ)¯ ^m

=X

u>r

α^u_iχ¯^u−rτ_m(u) =

∞

X

w=1

α^w+r_i χ¯^wτ_m(w+r).

On peut montrer qu’il existe m polynˆomes φ_k,m, 1 ≤ k ≤ m de degr´e m −k tels que τm(w+r) =

m

X

k=1

φk,m(r)τk(w). Ceci donne

π−

χ^r (1−α_iχ)¯ ^m

=α^r+1_i χ¯

m

X

k=1

φ_k,m(r)

∞

X

w=0

α^w_i χ^wτ_k(w)

!

ou encore, pour touti, 1≤i≤s, π−

χ^r (1−αiχ)¯ ^m

=α^r+1_i χ¯

m

X

k=1

φk,m(r) 1 (1−αiχ)¯ ^k. De la mˆeme mani`ere, on v´erifie que pour tout m ≤ m_j, H_Φ˜

N

1 (1−αiχ)¯ ^m

est combinaison lin´eaire de termes π₊

¯ χ^r1 (1−¯αjχ)ⁿ

avec 1 ≤ n ≤ m_j, 1 ≤ j ≤ m, et r₁ = O(N). Un calcul identique au pr´ec´edent donne alors

π+

χ¯^r (1−α¯jχ)ⁿ

=

m

X

k=1

α^r_iφk,n(r) 1 (1−α¯jχ)^k ce qui d´emontre le lemme.

2

4.3 La preuve du th´eor`eme.

Preuve : Le point i) du th´eor`eme est une application imm´ediate du th´eor`eme 1.

Pour le point ii) posons T_N⁻¹

k+1,l+1=T_1,k,l+T_2,k,l, les quantit´es T_1,k,l etT_2,k,l´etant respe- civement ´egales `a T_1,k,l=hπ₊

χ^k g2

|π₊

χ^l

¯ g1

i et, en reprenant les notations du lemme 1 T_2,k,l=D

I−H_ΦNH_Φ˜

N

−1 π₊

π₊

χ^k g2

Φ˜_N π₊

π₊

χ^l

¯ g1

Φ_NE

. Les calculs pr´ec´edents, via les d´ecompositions en ´el´ements simples de _g¹

1 et _g¹

2, donnent que la quantit´e T_1,k,l vaut

T_1,k,l = X

1≤i,j≤σ





X

1≤t≤s_i,1≤h≤s_j

Ht,iK¯_h,j D

π+

χ^k (1−α_iχ)¯ ^t

π+

χ^l (1−α_jχ)¯ ^h

E



,

ce qui est aussi, en r´eutilisant les calculs effectu´es dans le lemme 2 T_1,k,l= X

1≤i≤s,1≤j≤m





X

1≤t≤s_i,1≤h≤m_j

Ht,iK¯t,jS_1,k,l,i,j(t, h)



,

avec

S_1,k,l,i,j(t, h) =DX^k

u=0

τ_t(u)α^u_iχ^k−u

l

X

v=0

τ_h(v)α_j^vχ^l−vE .

On obtient, si on supposel≥k, S_1,k,l,i,j(t, h) =

k

X

u=0

τ_t(u)τ_h(l−k+u)α^u_iα¯^l−k+u_j .

C’est `a dire que |S_1,k,l,i,j(t, h)| = O

l^m maxj∈{1,···,σ}(|α_j|)|l−k|

, ce qui donne, pour tout r´eel a∈]0,1[|T_1,k,l|=o ρ^a|l−k|

,avec la d´efinition de ρet de a.

Nous pouvons d’autre part ´ecrire

T_2,k,l=hS_2,k|S_2,li+D

I−H_ΦNH_Φ˜

N

−1

−I

S_2,k|S_2,lE , avec

S_2,k =π+

π+(χ^k

g₂) ˜ΦN

et

S2,l =π+

π+

χ^l

¯ g1

Φ¯N

.

Remarquons tout d’abord que, via la d´ecomposition en ´el´ements simples de _g¹

2 la quantit´e π₊(^χ_g^k

2) est une combinaison lin´eaire finie de termes π₊

χ^k (1−α_iχ)¯^s1

avec 0≤s₁ ≤max{s_i|1≤ i≤s}. Ecrivons

π+

χ^k (1−αiχ)¯ ^s1

=

k

X

u=0

α^u_iχ^k−uτs1(u).

Nous constatons alors queS_2,kest combinaison lin´eaire finie de termes

k

X

u=0

α^u_iτ_σ(u)π₊

χ^{k−u−N−1})g₂ g1

. On v´erifie queπ+

χ^{k−u−N−1})^g_g²

1

est une combinaison lin´eaire finie de termesπ+

χ^{k−u−N−1+M} (1−¯αjχ)^µ

o`u M est un entier born´e ind´ependamment deN. En ´ecrivant

π₊

χ^{k−u−N−1+M} (1−α¯_j)^µ

= X

v≥N+1+u−k

¯

α^v_jχ^vτ_µ(v) on obtient queS2,k est une somme finie de termes

¯ α_j^N+1−k

k

X

u=0

α^u_iτ_σ(u) X

v>N+1+u+s−k

¯

α^v−N_j ^−1+kχ^vτ_µ(v).

En estimant de mˆeme S2,l on obtient qu’il existe un entierH, ind´ependant des entiers k, l, N tel que que le produit scalaire hS_2,k|S_2,liest une combinaison lin´eaire finie de termes d’ordres O(ρ^2N−k−l)O(N^H), c’est `a dire que ce produit scalaire est d’ordre o(ρ<sup>|k−l|</sup>) si k etl v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme.

Enfin, en reprenant la d´emonstration du lemme 2 on obtient que kH_Nk = O(ρ^2N) = o(ρ^|l−k|), ce qui ach`eve de prouver le point ii). 2 4.4 Application aux matrices de Toeplitz dont le symbole est une fonction

r´eguli`ere

On dira ici qu’une fonction r´eguli`ere continue f v´erifie l’hypoth`ese (H) s’il existe deux r´eelsρ1 <1< ρ2 tels quef soit la restriction `aTd’une fonction continue strictement positive sur{z|ρ₁ <|z|< ρ₂}.

Corollaire 1 Soitf une fonction r´eguli`ere v´erifiant l’hypoth`ese(H). Si|k−l|tend vers l’infini avec N, alors (TN(f))⁻¹_k,l =O

1 ρ

|l−k|

pour tout ρ∈]1, ρ₂[.

Preuve : Appelons m le minimum pour θ ∈ [0,2π[ de f(e^iθ). Donnons-nous un r´eel strictement positif inf´erieur `a <sup>m</sup><sub>2</sub> SoitP un polynˆome `a coefficients complexes tel que

|P(z)|²− f(z)

≤min ,kT_N⁻¹(f)k₂

,pour toutz,ρ₁ < z < ρ₂. Il est clair que le polynˆomeP n’admet pas de racines sur le tore. Nous pouvons ´ecrire,T_N(|P|²) =T_N(f)−T_N(f) +T_N(|P|²) ce qui est aussi

TN(|P|²) =TN(f)

1 +T_N⁻¹(f) TN(|P|²)−TN(f) , ce qui implique, grˆace aux hypoth`eses faites surf etP,

T_N⁻¹(|P|²) =

1 +T_N⁻¹(f) TN(|P|²)−TN(f)−1

T_N⁻¹(f), Ce qui conduit `a la majoration,

kT_N⁻¹(|P|²)k₂ ≤ kT_N⁻¹(f)k₂+kT_N⁻¹(f)k²₂kT_N(|P|²)−T_N(f)k₂ 1 1− qui donne

kT_N⁻¹(|P|²)k₂kT_N(|P|²)−T_N(f)k₂≤ 2 1 +.

c’est `a dire qu’en choisissantassez petit on peut affirmer que lamatriceT<sub>N</sub><sup>−1</sup>(|P|<sup>2</sup>) T<sub>N</sub>(|P|<sup>2</sup>)−T<sub>N</sub>(f) est inversible. On peut alors recommencer les calculs pr´ec´edents en inversant les rˆoles de TN(|P|<sup>2</sup>) et TN(f), ce qui conduit `a TN(f) =TN(|P|²) +TN(f)−TN(|P|²) ou encore

T_N(f) =T_N(|P|²)

1 +T_N⁻¹(|P|²) T_N(f)−T_N(|P|²) et finalement

T_N⁻¹(f) =

1 +T_N⁻¹(|P|²) TN(f)−TN(|P|²)−1

T_N⁻¹(|P|²), ce qui est enfin

T_N⁻¹(f) =T_N⁻¹(|P|²)+T_N⁻¹(|P|²) T_N(f)−T_N(|P|²) 1 +T_N⁻¹(|P|²) T_N(f)−T_N(|P|²)−1

T_N⁻¹(|P|²)

ce qui donne le r´esultat avec le th´eor`eme 3, en remarquant que l’hypoth`ese (H) implique que T_N⁻¹(|P|²) =

1 ρ

|l−k|

, pour toutρ∈]1, ρ₂[. 2

4.5 Peuve du lemme ??

Avec les notations de l’article et la formule habituelle d’inversion des matrices de Toeplitz

`

a symbole r´egulier (voir[17]) on obtient pourf une fonction r´eguli`eref =g¯g,g∈H⁺(T).

T_N⁻¹

l+1,k+1 =hπ₊ χ^l

¯ g

|χ^k

¯ g i − h

+∞

X

s=0

H_Φ^∗_NH_ΦNs

π+Φ¯_Nπ+

χ^l

¯ g

|π₊Φ¯_Nπ+

χ^k

¯ g

i.

avec Φ_N = ^g_g¯χ^N+1. Pour l= 0cette formule nous donne T_N⁻¹

1,k+1=hπ₊ 1

¯ g

|χ^k

¯ g i − h

+∞

X

s=0

H_Φ^∗_NH_ΦNs

π₊Φ¯_Nπ₊ 1

¯ g

|π₊Φ¯_Nπ₊ χ^k

¯ g

i.

Dans la suite de la preuve nous utiliserons les notations suivantes : 1

g =X

u≥0

β_uχ^u g

¯ g =X

u∈Z

γ_uχ^u.

Puisque l’hypoth

‘ese f ∈ A(T, s) implique que ¹_g et ^g_g¯ ∈ A(T, s) (see [?] or [?])nous avons deux constantes positivesK etK⁰telle que

|β_u| ≤ K

u^s ∀u∈N^? et |γ_u| ≤ K⁰

u^s ∀u∈Z^?. On peut alors ´ecrire

hπ₊ 1

¯ g

|χ^k

¯

g i= ¯β0βk, π+Φ¯Nπ+

1

¯ g

=π+ Φ¯Nβ¯0

= ¯β0

X

v≥N+1

¯

γ−vχ^v−N−1,

et

X

v≥N+1

¯

γ−vχ^v−N−1

=O(N^−s).

De plus

π₊Φ¯_Nπ₊ χ^k

¯ g

=

k

X

w=0

β¯_w





X

v≥N+1−k+w

¯

γ_vχ^{v−N−1+k−w}



.

Et d’autre part siψ= X

w≥0

α_wχ^west une fonction dansH⁺ nous avons, en utilisant la continit´e de la projection π−,

HΦN(ψ) = X

w≥0

αw

X

v>N+1+w

γ−vχ^v+w+N+1

!

ce qui implique

kH_ΦN(ψ)k₂ ≤X

w≥0

|α_w X

v>N+1+w

|γ−v|

!

≤ kψk₂



 X

w≥0

X

v>N+1+w

|γ_−v|

!2



1/2

≤Kkψk₂(N + 1)^−s

ce qui signifie que kH_ΦNk ≤ K(N + 1)^−s+3/2. Nous obtenons alors facilement kH_Φ^?

Nk ≤ K⁰(N+ 1)^−s+3/2 et nous pouvons ´ecrire

k

+∞

X

s=0

H_Φ^∗_NH_ΦNs

π₊Φ¯_Nπ₊ 1

¯ g

k₂≤ K⁰

1−K⁰²(N+ 1)^−s+3/22(N)^−s+1. Puisque pour tout entier kfix´e dans [0, N] nous avons

kπ₊Φ¯_Nπ₊ χ^k

¯ g

k₂ ≤

k

X

w=0

|β_w|





X

v≥N+1−k+w

|γ_v|



=O(1) et nous pouvons ´ecrire

T_N⁻¹

1,k+1= ¯β0βk+O (N)^−s tce qui est le r´esultat attendu.

R´ ef´ erences

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