2 Matrice Bande

Equations aux d´ ´ eriv´ ees partielles Chapitre 4 : Diff´erences finies en 2D

Lucie Le Briquer

1 Introduction

uxx+uyy =f (1)

−∆u=f (2)

o`u ∆u=Pm i=1

∂²u

∂x²_i

Notons :

v_l,m=u(lh, mh) Sch´ema approchant (1) :

vl+1,m+v_l−1,m−2vl,m

h² +vl,m+1+v_l,m−1−2vl,m

h² =fl,m

C’est un sch´ema `a 5 points. On note (∆hv)l,m= ^{vl+1,m+vl−1,m}_k2 ^−2vl,m +^{vl,m+1+vl,m−1}_h2 ^−2vl,m.

Si ∆_hv ≥0 sur une r´egion born´ee deZ² alors le maximum de v est atteint sur la fronti`ere de cette r´egion.

Th´eor`eme 1

Si ∆hv≤0 le minimum devest atteint sur la fronti`ere.

Corollaire 2

Preuve.

Preuve du corollaire : il suffit de changerv et −v dans le th´eor`eme.

Preuve.

Preuve du th´eor`eme : SoitR ⊂[−N, N]²

(l, m)∈R^{◦ def}⇔(l+ 1, m),(l−1, m),(l, m+ 1),(l, m−1)∈ R On note∂R=R\R.^◦

1

Soitvl₀,m₀ le maximum de vsurR.

vl₀,m₀ ≤vl₀+1,m₀+vl₀−1,m0+vl₀,m₀+1+vl₀,m₀−1

4 1. (l0, m0)∈∂R

2. (l0, m0)∈/ R ⇒^◦ vl₀+1,m₀ =vl₀−1,m0=vl₀,m₀+1=vl₀,m₀−1

Si v_l,m= 0 sur∂[0, N]² avecL=N h, alors : kvk∞≤L²

8 k∆hvk∞ (3)

Th´eor`eme 3

Preuve.

kvk_∞= max

(l,m)∈[0,N]²

|v_l,m| et k∆_hvk_∞= max

(l,m)∈[0,N]^{◦ 2}

|(∆_hv)_l,m|

Soit :

w(x, y) =1 4

"

x−L 2

2

+

y−L 2

2#

(∆w= 1) Notonsw_l,m=w(lh, mh). Alors (∆_hw)_l,m= 1

−(∆hw)(k∆hvk∞)≤(∆hv)l,m≤ k∆hvk∞(∆hw)

∆h(v+k∆hvk∞w)≥0 D’apr`es le th´eor`eme 1 :

v+k∆hvk_∞w≤ k∆hvk_∞ max

∂[0,N]²w

| {z }

≤L²/8

Doncv≤^L₈²k∆hvk∞ et−v≤^L₈²k∆hvk∞

Soit u tel que +∆u = f sur Q = [0, L]². Soit v tel que (∆hv)l,m = (f)l,m avec vl,m = u(lh, mh) sur∂Q. Alors∃C tq :

ku−vk∞≤Ch²k∇⁴uk∞ (4) o`u :

k∇⁴uk_∞= sup

α+β=4

∂⁴u

∂x^α∂y^β _∞,Q Th´eor`eme 4

2

Preuve.

u=u(x, y) et ¯u=u(lh, mh), on a ∆hu¯= ¯f +O(h²). Par le th´eor`eme 3 on a : k∆hu¯−f¯k∞≤Ch²k∆⁴uk∞

Or :

u((l+ 1)h, mh) +u((l−1)h, mh)−2u(lh, mh)

h² =

Z 2

0

θ^m∂⁴u

∂X⁴(lh+θh, mh)dθ On a :

– u¯−u= 0 sur∂Q – f¯= ∆_hv

k∆h(¯u−v)k_∞≤Ch²k∇⁴uk_∞et ¯u−v= 0 sur ∂Q

2 Matrice Bande

On appellematrice pleine une matrice contenant “peu” de coefficients nuls, une matricecreuse le contraire.

Exemple.

Exemple le plus simple de matrices creuses :

Matrice bande : ∃p≥1 tq|i−j| ≥p⇒aij = 0. La largeur de bande est 2p+ 1.

Rappel. (d´ecompositionLU)

A(n, n) Ak = (aij)_1≤i,j≤n inversible. Alors ∃L triangulaire inf´erieure (n, n), Li,i = 1, ∃U triangulaire sup´erieur (n, n) telles que A=LU. Si de plusAest de largeur de bande 2p−1 on peut assurer queLet U le sont aussi.

cf. Schatzman inter´editions Ax=b

– ²ⁿ₃³ op´erations pour factoriserAsous formeLU – L(U x) =b⇔Ly=bet U x=y en 2n² op´erations Donc ²ⁿ₃³ + 2n² op´erations au total.

Pour une matricebande2p−1 :

– A=LU en (2(p−1)²+p−1)nop´erations – LU x=ben (4p−3)nop´erations

D’o`u (2(p−1)²+ 5p−4)nop´erations.

3