EPFL ALG `EBRE LIN ´EAIRE
Institut de Math´ematiques GC/SIE
Dr A. Prodon HIVER 2004/2005
CORRIG ´E DU TEST 1
Exercice 1
La matrice augment´ee du probl`eme s’´ecrit
1 1 1 1 1 0 1 0 1 1
1 2 2 λ λ
Apr`es ´echelonnage et r´eduction, on trouve la matrice
1 0 0 2−λ 2−λ
0 1 0 1 1
0 0 1 λ−2 λ−2
On en d´eduit l’ensemble des solutions en fonction deλ∈R
Sλ=
x1 x2
x3 x4
∈R4
x1 x2
x3 x4
=
2−λ
1 λ−2
0
+s
λ−2
−1 2−λ
1
, s∈R
Exercice 2
a) A est inversible car le produit de matrices inversibles est inversible. Or, les matrices
´
el´ementaires sont inversibles et la matrice triangulaire sup´erieure ayant des ´el´ements non nuls sur la diagonale est ´equivalente par ligne `a la matrice identit´e, donc inversible.
b) Les matrices ´el´ementaires dans l’expression de A sont triangulaires inf´erieures, donc leur produit aussi. Ainsi A=LU avec
L=E41(2)E2(−2)E32(−1) =
1 0 0 0
0 −2 0 0 0 −1 1 0
2 0 0 1
U =
1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1
c) On d´ecomposeU en produit de matrices ´el´ementaires
1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1
l3−3l4
→
1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1
l2−2l3
1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
l1−l2
→
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Soit E12(−1)E23(−2)E34(−3)U =I. Donc U−1=E12(−1)E23(−2)E34(−3) et
A−1 = U−1(E41(2)E2(−2)E32(−1))−1
= E12(−1)E23(−2)E34(−3)E32(1)E2(−1
2)E41(−2) d) det(A7) = det((LU)7) = (det(L))7(det(U))7= (det(L))7= (−2)7
Exercice 3
On rend la matrice triangulaire par ´echelonnage apr`es avoir permut´e les deux premi`eres colonnes.
Le d´eterminant sera alors ´egal au produit des ´el´ements de la diagonale multipli´e par -1.
|A|= −
1 −1 2 −3 −1
0 1 α 1 0
0 1 1 2 −1
0 1 1 3 2
0 1 1 4 3
l3−l2
l4−l2 l5−l2
=−
1 −1 2 −3 −1
0 1 α 1 0
0 0 1−α 1 −1
0 0 1−α 2 2
0 0 1−α 3 3
l4−l3 l5−l3
= −
1 −1 2 −3 −1
0 1 α 1 0
0 0 1−α 1 −1
0 0 0 1 3
0 0 0 2 4
l5−2l4
=−
1 −1 2 −3 −1
0 1 α 1 0
0 0 1−α 1 −1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 −2
= 2−2α
Exercice 4
a) Faux :Sin= 1 il n’existe qu’une seule permutation sur 1 ´el´ement, `a savoir la permutation identit´e qui est paire.
b) Vrai : Soit C = AEij(β). On a CT = Eij(β)TAT = Eji(β)AT. Donc CT est la matrice obtenue en ajoutant β fois la i-i`eme ligne `a la j-i`eme ligne de AT. Or, agir sur les lignes de AT est ´equivalent `a agir sur les colonnes de A ce qui ach`eve la justification.
c) Faux : Contre-exemple : A=
1 0 0 1
, B=
1 1 0 1
→AB+BA=
2 2 0 2
d) Faux : Contre-exemple :A=−I,A−1 =A,A+I = 0.
e) Faux : Contre-exemple : la solution du syst`eme x= 1 ne contient pas le 0.
13 janvier 2005 – AP/gh
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