Université BORDEAUX 1 Algèbre L2/2013
Liste d’exercices no 4
Diagonalisation (suite). Polynôme minimal. Sous-espaces caractéristiques
Exercice 1
Soitf un endomorphisme d’unR-espace vectoriel de dimension 3.
1. Montrer qu’il existe un sous espace vectoriel de dimension1de E stable parf.
On suppose dorénavant que le polynôme caractéristique def est le polynôme(X−1)(X2−4X+a), où aest un nombre réel,a >3.
2. On supposea6= 4. Donner une condition nécessaire et suffisante surapour quef soit diago- nalisable.
3. On supposea= 4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le rang(f−2I)pour que f soit diagonalisable.
4. La matrice
A=
2 3 −3 1 2 −1 1 0 1
est-elle diagonalisable ?
Exercice 2
Déterminer les polynômes minimaux des matrices suivantes (a6=b)
A1 =
a 0 0 0 a 0 0 0 a
, A2=
a 1 0 0 a 1 0 0 a
, A3 =
a 1 0 0 a 0 0 0 a
, A4=
a 0 0 0 b 0 0 0 b
,
A5 =
a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a
, A6 =
a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 a
, A7 =
a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0 a
, A8 =
a 1 0 0 0 a 0 0 0 0 b 1 0 0 0 b
.
Exercice 3
Soitf un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimensionn, qui n’est pas une homothétie.
On suppose qu’il existe un entier m,m≥1tel que fm=I.
1. Montrer quef est diagonalisable.
2. On suppose que n= 6, m= 3. On suppose en outre que1 n’est pas une valeur propre de f. On note χf(X) le polynôme caractéristique def. Déterminer la forme deχf(X).
Exercice 4
Soit A une matrice carrée. On note χA le polynôme caractéristique de A et µA son polynôme minimal. On considère les hypothèses
(H1) χA(X) = (X−1)2(X−2) (H2) µA(X) = (X−1)2(X−2) (H3) (A−I)(A−2I) = 0.
Sous chacune des hypothèses(Hi)i=1,2,3, dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses:
1)A est une matrice carrée d’ordre 3 ; 2)A est diagonalisable ;
3)1 et2 sont valeurs propres deA ;
4) Les seules valeurs propres possibles deA sont 1et2 ; 5)dimE1= 2 etdimE2 = 1 ;
6)A est inversible.
Exercice 5
SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie, et soitf un endomorphisme de E.
1. On suppose que f est un automorphisme. Montrer qu’il existeP(X) ∈ K[X] tel que f−1 = P(f).
2. On suppose que Q(X) ∈ K[X] est tel que Q(f) est inversible. Montrer qu’il existe R(X) ∈ K[X]tel que Q(f)−1=R(f).
3. On supposeK =C. On notePf(X) le polynôme caractéristique de f, et soitQ(X)∈K[X].
Montrer que Q(f) est inversible si et seulement siPf(X) etQ(X) sont premiers entre eux.
Exercice 6 Soit la matrice
B =
−1 0 0 0 2 1 0 0 2
.
1. Quelles sont les valeurs propres de B ? Donner les dimensions des sous-espaces propres. La matrice B est-elle diagonalisable ?
2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques deB.
Exercice 7
SoitA la matrice deM3(R)suivante :
A=
1 0 1
−1 2 1 1 −1 1
.
1. Déterminer les sous-espaces propres deA. La matrice Aest-elle diagonalisable ? 2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques deA.
3. Déterminer une base deR3 dans laquelle la matrice de l’endomorphisme associé àAest
B =
2 0 0 0 1 1 0 0 1
.
4. Quel est le polynôme minimal deA ?
Exercice 8
Soitu∈ L(R4) de matrice dans la base canonique :
A=
1 −1 2 −2 0 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 0
.
1. Déterminer le polynôme caractéristique χu(X) de u. Trouver les valeurs propres et les sous- espaces caractéristiques Fi de u.
2. Donner une base suivant laquelle la matrice deu se décompose en deux blocs diagonaux.
3. Déterminer les projectionspi de R4 sur lesFi.
Exercice 9
Les matrices suivantes sont-elles trigonalisables ? Les trigonaliser le cas échéant.
A=
5 −17 25 2 −9 16 1 −5 9
, B=
−2 2 −1
−1 1 −1
−1 2 −2
, C=
3 −2 2
3 −1 2
−2 2 −1
, D=
2 0 1 1 1 0
−1 1 3
.
