Donner une base Bde E et d´eterminer la matrice dans la baseB de la forme quadratiqueq

L3 Math´ematiques Printemps 2017 Alg`ebre Lin´eaire

Examen du 4 mai 2017

Dur´ee 3h00. Aucun document ni calculatrice autoris´e Des r´eponses non justifi´ees ne sont pas prises en compte

Notation : Dans tout le sujet S_n⁺ ∈ Mn(R) (respectivement S_n⁺⁺ ∈ Mn(R)) notera l’ensemble des matrices r´eelles sym´etriques positives (respectivement d´efinies positives) de taille n.

Exercice 1: Soit E= _{a b}

c d

∈M₂(R)|a−d= 0 etJ = ¹₁₋₁¹

. On d´efinit la forme quadratique q : E−→ R

M 7−→ Tr(M J M) o`u pour toutA∈E, Tr(A) est la trace de la matrice A.

1. Donner une base Bde E et d´eterminer la matrice dans la baseB de la forme quadratiqueq.

2. D´eterminer la signature deq, son rang, son noyau et son cˆone isotrope. D´eterminer une base q-orthogonale de E. La forme q est-elle d´efinie ? positive ? n´egative ?

3. D´eterminer F^⊥ o`uF ={(^a_0a⁰)∈M2(R)|a∈R}.

Exercice 2: D´eterminer toutes les matrices A∈ S_n⁺ v´erifiant A⁵+A⁴−2A³+A² =In. Exercice 3: NotonsJn(λ)∈Mn(C) le bloc de Jordan de valeur propreλet de taille n,

Jn(λ) =







λ 1

... ...

... ₁

λ





∈Mn(C).

1. (a) Donner la r´eduite de Jordan et une base de Jordan de la matrice J3(1)². (b) Soit n∈Netλ6= 0. Donner la r´eduite de Jordan de J_n(λ)².

(c) Soit n∈Net λ6= 0 et soitA=J_n(λ)²−λ²I_n. D´emontrer quee_n6∈kerAⁿ⁻¹. En d´eduire une base de Jordan de Jn(λ)².

2. (a) Donner la r´eduite de Jordan puis une base de Jordan deJ₄(0)² etJ₅(0)². (b) D´eterminer la r´eduite de Jordan de J_n(0)².

Exercice 4: Soit A=













an−1 1 0 ... 0 . ..

... ... . .. 1 a0 0 0













∈Mn(R), autrement dit A=Pn

i=1an−iEi,1+Pn−1

i=1 Ei,i+1.

1. Montrer que χ_A(X) = (−1)ⁿ(Xⁿ−Pn−1 i=0 a_iXⁱ).

2. D´eterminer A^k(en) pour k= 1, . . . , n−1 et en d´eduireµA. 3. Soit p(X) = (X²+ 1)(X²+X+ 1).

(a) Trouver une matrice de M4(R) dont le polynˆome minimal estp(X).

(b) Montrer qu’il ne peut pas exister une matrice A∈M5(R) telle queµA(X) =p(X).

Exercice 5: Soit A∈Mn(R) sym´etrique.

1. Montrer queA∈ S_n⁺(respectivementS_n⁺⁺) si et seulement si toutes les valeurs propres deAsont positives (respectivement strictement positives).

2. Soit M = _{2−2 1}

−2 5−2 1−2 2

. Montrer que M appartient `a S⁺⁺_n et trouver une S ∈ S_n⁺⁺ telle que S² = M. Est-elle unique ?

3. Soit k∈N\ {0}et soitA, B ∈ S_n⁺⁺ telles que A^k=B^k. Montrer queA=B. Exercice 6: Soit A∈M_n(C). Supposons qu’il existe l∈N\ {0}tel que A^l∈ S_n⁺⁺.

1. Que peut-on dire sur le polynˆome minimal deA^l ? En d´eduire un polynˆome annulateur deA.

2. Montrer que Aest diagonalisable sur C.

Exercice 7: SoitE unR-espace vectoriel de dimension n,H un hyperplan deE (autrement dit un sous-espce vectoriel de dimension n−1) et soitf ∈ L(E) tel que

f 6=IdE et ∀v∈H, f(v) =v D´eterminer la r´eduite de Jordan dans les deux cas : detf = 1 ou detf 6= 1.