Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Devoir num´ero 2. A rendre en TD le 19 Mars.
Exercice 1
On consid`ere l’ensembleV ⊂R3 suivant :
V ={v∈R3 de la forme v= (x+z+ 2t, y+z−t, x−y+ 3t), avec x, y, z, tr´eels}.
(1) Montrer queV est un sous-espace vectoriel deR3 et en donner une partie g´en´eratrice.
(2) D´eterminer une base de V et montrer que V est un plan de R3.
(3) Compl´eter une base deV en une base deR3 et d´eterminer un suppl´ementaire deV dansR3. (4) Montrer que (a, b, c) ∈ V si et seulement si (a, b, c) v´erifie une ´equation lin´eaire (en a, b, c) qu’on pr´ecisera.
Exercice 2
SoitV ⊂R4 l’ensemble des solutions du syst`eme
x−y+t= 0 x+y−z−t= 0 3x−y−z+t= 0
(1) Montrer queV est un plan vectoriel et en donner une base.
(2) SoitW = Vect (1,2,0,−1),(1,1,−1,0),(−1,0,2,−1) .
(2-a) Donner une base deV ∩W. Quelle est la dimension deV +W ? (2-b) D´eterminer un suppl´ementaire deV +W dansR4.
Exercice 3
Etant donn´e un param`etre a∈R on consid`ere les vecteurs
v1 = (a,2, a−1,2), v2 = (2a,3,−1,3), v3= (−a,0,3a−1,0), v4 = (5a,7,2a−3,7) et on noteV le sous-espace vectoriel engendr´e par v1, v2, v3, v4.
Selon les valeurs du param`etre a:
(1) d´eterminer le rang de la suite (v1, v2, v3, v4) et donner une base deV ; (2) d´eterminer un suppl´ementaireW de V et donner une base de W ; (3) d´eterminer un syst`eme d’´equations cart´esiennes de V.
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