TD11 Analyse Num´erique et Optimisation H.Haddar, O.Pantz Probl`emes d’optimisation
Exercice 1. Projection sur un convexe ferm´e SoitV un espace de Hilbert etK un convexe ferm´e non vide deV. Soitaun ´el´ement deV. On pose
d(a) = dist(a, K) = inf
v∈K|a−v|.
Soitun une suite d’´el´ements deK tels que lim|un− a|=d(a).
1.1 - En utilisant l’´egalit´e de la m´ediane, montrer que un est une suite de Cauchy. En d´eduire qu’il existe un unique ´el´ementp(a)∈Ktel que|p(a)−a|= d(a).
1.2 - Montrer que l’applicationJ(v) =|v−a|2 est fortement convexe. Comment en d´eduire la conclusion de la question pr´ec´edente ?
Exercice 2. Probl`emes variationnels Soit Ω un ouvert deRN.
2.1 - (Laplacien) On consid`ere la fonctionJ d´efinie surH1(Ω) par
J(v) = 1 2
Z
Ω
|∇v(x)|2+|v(x)|2dx− Z
Ω
f(x)v(x)dx.
Montrer que J est fortement convexe sur H1(Ω).
Montrer que J admet un unique minimum u ∈ H1(Ω). Montrer que uest la solution d’un probl`eme variationnel `a d´eterminer (Indication : on pourra consid´erer l’applicationt→J(u+tv)).
2.2 - (Stokes) Montrer que la fonction J(v) = µ
2 Z
Ω
|∇v|2dx− Z
Ω
f·vdx
admet un minimum u de J sur l’ensemble des
´el´ements de H01(Ω)N `a divergence nulle. Montrer que u est solution d’un probl`eme variationnel `a d´eterminer. De quelle ´equation aux d´eriv´ees partielles uest-elle solution ?
Exercice 3. Centres asymptotiques
SoitEun espace de Hilbert de dimension finie, etxk
une suite born´ee d’´el´ements deE.
3.1 - Montrer que l’applicationf :E →R,f(y) = lim supk|y−xk|2est strictement convexe. En d´eduire quef admet un unique point de minimum ¯x. On ap- pelle ¯xlecentre asymptotiquede la suitexk.
3.2 - Soit C l’enveloppe convexe ferm´ee de l’en- semble des valeurs d’adh´erence de xk, et soit ¯y la projection de ¯xsurC. Montrer que
f(¯y) +|¯x−y|¯2≤f(¯x) .
(Indication : d´evelopper|xk−y¯+ ¯y−x|¯2.) Conclure que ¯x∈C.
Exercice 4. Minimisation dans les espaces de Banach uniform´ement convexes On appelle module de convexit´e d’un espace de Ba- nachX la fonction δ:R+→R+, d´efinie par
δ(ε) = inf{1− |(x+y)/2|; |x|,|y| ≤1,|x−y| ≥ε} . Un Banach est uniform´ement convexe si δ(ε) > 0, pour toutε >0. Il sera parfois commode d’utiliser la version homog`ene suivante de la d´efinition deδ:
(|a−x| ≤r, |a−y| ≤r, |x−y| ≥εr)
⇒ |a−(x+y)/2| ≤(1−δ(ε))r , (1) pour tousr >0 eta∈X.
4.1 - Montrer qu’un espace de Hilbert est uni- form´ement convexe, et a pour module :
δ(ε) = 1−(1−ε2/4)1/2>0 .
Donner un exemple de Banach non uniform´ement convexe.
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4.2 - Montrer que si Cn est une suite d´ecroissante de convexes non vides ferm´es et born´es d’un Banach X uniform´ement convexe, alors l’intersection ∩nCn
est non-vide.
Indication : On s’inspirera de l’exercice 1, en particu- lier, on pourra consid´erer un ´el´ementa∈X et la suite un∈Cn telle que lim|un−a|= lim
n infx∈Cn|x−a|.
4.3 - Soit V un Banach et J : v → R. On appelle ensemble de sous-niveauλdeJ,Sλ=J−1(]− ∞;λ]) a. Montrer que siJ est convexe, pour toutλ,Sλ est convexe.
b. On rappelle qu’une fonctionJ est dite sci (semi- continue inf´erieurement) si et seulement si, pour toute suite convergente (xn) on a
J(limxn)≤lim
n
p≥ninf J(up)
(= lim infJ(xn)).
Montrer que siJ est sci,Sλ est ferm´e.
c. En d´eduire que toute fonction d´efinie sur un Banach uniform´ement convexe atteint son minimum lorsqu’elle est convexe, sci et infinie `a l’infini.
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