Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2015-2016 Module 4M001
Alg` ebre g´ eom´ etrique - TD3
Compl´ ement : projection sur un convexe ferm´ e
On rappelle qu’un espace de Hilbert r´eel est unR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, qui est complet pour la topologie d´efinie par la norme associ´ee `a ce produit scalaire.
Exercice 1 :
a) Donner quelques exemples d’espaces de Hilbert r´eels.
b) Dans un tel espace H, montrer la formule du parall´elogramme : pour tousx, y∈H, on a
kx+yk2+kx−yk2 = 2
kxk2+kyk2 .
Exercice 2 :
SoitH un espace de Hilbert r´eel. Soit C un convexe ferm´e non vide deH. Soit x∈H\C.
a) Montrer qu’il existe une suite (yn)n∈N∗ `a valeurs dans C telle que, pour tout n, d(x, yn)2 ≤ d(x, C)2+n1.
b) Montrer que la suite (yn) est de Cauchy dansH.
c) Montrer qu’il existey∈C tel qued(x, y) =d(x, C).
d) Montrer qu’un tel y est unique, et qu’il est sur la fronti`ere∂C de C. On le notey =πC(x).
e) Montrer que le point y∈C est caract´eris´e par les in´egalit´es suivantes :
∀z∈C ,hy−x, y−zi ≤0.
f) Montrer que l’application πC :H\C→∂C est 1-lipschitzienne.
Exercice 3 :
On conserve les notations de l’exercice 2.
On suppose H de dimension finie.
a) On suppose C compact. Montrer que l’application πC est surjective.
b) On ne suppose plus C compact. Montrer que πC est surjective.
c) Montrer que par tout point de ∂C passe au moins un hyperplan d’appui deC.
Exercice 4 :
a) Utiliser l’exercice 2 pour montrer que tout sous-espace vectoriel ferm´e G de H v´erifie que πG : H→Gest lin´eaire et que
H=G⊕G⊥. b) Montrer que l’hypoth`ese G ferm´eest n´ecessaire.
Exercice 5 :
a) Utiliser l’exercice 4 pour montrer que pour tout forme lin´eaire continue f sur H, il existe un uniquex∈H tel que pour touty∈H, on ait
f(y) =hx, yi.
b) Soit T :H → G une application lin´eaire continue entre deux espaces de Hilbert r´eels. Montrer qu’il existe une unique application lin´eaire continue T∗ : G → H telle que pour tout x ∈ H, y∈G, on ait
hT(x), yi=hx, T∗(y)i. c) Comparer les normes deT et deT∗.
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