Universit´e BORDEAUX1 L2/2013 Alg`ebre 2
LISTE D’EXERCICES N0 9
Exercice 1 On consid`ere l’application de R3 dans R d´efinie par q(x, y, z) = x2+ y2+z2−xy.
1. Montrer queq est une forme quadratique deR3.
2. Soitφla forme bilin´eaire associ´ee `aq. D´eterminer la matriceAde φdans la base canonique de R3 et montrer que φest un produit scalaire deR3.
3. D´eterminer une base de R3 orthomorm´ee pour φ et l’utiliser pour trouver une matriceQ telle que A=QtQ.
Exercice 2 SoitE=C([0,1],R) l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dansR muni du produit scalaire
φ(f, g) = Z 1
0
f(t)g(t)dt.
Montrer queF ={f ∈E; f(0) = 0} est un sous-espace deE et d´eterminerF⊥. Est-ce que E=F ⊕F⊥?
Exercice 3 D´eterminer l’orthogonal des sous-espaces suivants dans R4 muni du produit scalaire canonique.
(a) E1 ={(x, y, z, t)∈R4; x+y−z+t= 0}; (b) E2 ={(x, y, z, t)∈R4; x+y−z= 0};
(c) E3 = Vect
(1,1,1,1),(1,0,0,1) .
Exercice 4 On consid`ere l’espace R3 muni du produit scalaire d´efini `a partir de la forme quadratique q(x) = (x1−x2+ 2x3)2+ 4(x2−2x3)2+ 2x23. Trouver une base orthonorm´ee de R3 contenant le vecteur (1,0,0).
Exercice 5 On consid`ere l’espace vectorielR3etB0 = (e1, e2, e3) sa base canonique.
Soient q1, q2, q3 :R3 →Rles applications suivantes : six=x1e1+x2e2+x3e3, (a) q1(x) =x21+x22+x23;
(b) q2(x) = (x1+x2)2+ (x2)2+ (x3)2;
(c) q3(x) = (x1+x2)2+ (x2−x3)2+ (x1−x3)2. Faire l’exercice suivant pour q=q1 puisq =q2 etq=q3.
1. Montrer queq est une forme quadratique d´efinie positive.
2. On note < ., . > le produit scalaire associ´e `aq etkXk=p
q(X). D´eterminer la matrice de < ., . >dans la base B0.
3. Soit F le plan de R3 d’´equation x1+x2+x3 = 0 dans B0. D´eterminer F⊥ pour
< ., . >.
4. D´eterminer une base (f1, f2) deF, orthonorm´ee pour< ., . >.
5. Compl´eter la famille (f1, f2) par un vecteur f3, tel que B = (f1, f2, f3) soit une base orthonorm´ee de R3 pour < ., . >. Quelle est la matrice de < ., . > dans la baseB?
6. On consid`ere p la projection orthogonale (pour < ., . >) sur le sous-espace F. D´eterminer la matrice de p dansB, puis dans B0.
7. Soitv=e1+ 2e2 ∈R3. Calculer la distance dev `a F.
