ISFA 2010-2011 Optimisation
Examen d’Optimisation
Le vendredi 13 mai de 14 heures à 16 heures Tous documents autorisés. Ordinateur avec le logiciel R
installé obligatoire
Exercice 1 (Ne pas utiliser l’ordinateur pour cet exercice.) 1. Mettre sous forme standard le polytope
{x1+x2+x3 ≥1, x1−x2−x3 ≤ −2, x1+x2−2x3 ≥3, x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0}.
2. Trouver, par la méthode du simplexe, une base admissible pour le polytope en forme standard.
Exercice 2 Soit A : Rn → Rm une application linéaire injective, que l’on identifie à une matrice(aij)i=1,...,m,j=1,...,n.
Soit b ∈Rm un vecteur fixé.
Soit f :Rn→R, f(x) =|Ax−b|2.
La norme euclidienne standard dansRnest notée| |, et le produit scalaire standard·.
1. Montrer que
(x, y)7→(Ax)·(Ay)
est un produit scalaire dans Rn.
2. Montrer que f est 2a-convexe, où a est la plus petite valeur propre de la matrice ATA.
3. En déduire que f a un point de minimum x0 et un seul.
4. Par un calcul direct, donner l’équation satisfaite par x0. 5. Ecrire, sous R, un programme pour calculer x0 en fonction de
A et b, avec les données numériques suivantes : n = 2, m= 3, A=
1 1 2 1 3 1
, b=
7
−2 1
.
Exercice 3 Soitf ∈C1(R)telle quef0 soit strictement positive et croissante.
1. On suppose d’abord que l’équation f(x) = 0 a une solutionx∗. Montrer que la suite donnée par la méthode de Newton
x0 ∈R, xk+1 =xk− f(xk)
f0(xk), ∀ k ∈N, converge vers x∗.
2. On suppose que l’équation f(x) = 0n’a pas de solution. Dans ce cas, montrer que la suite précédente tend vers −∞.
Exercice 4 Modéliser le problème suivant comme un problème de programmation linéaire :
Un avion-cargo a trois compartiments : avant, médian et arrière.
Ces compartiments ont les capacités suivantes :
Compartiment Tonnage (tonnes) Volume (m3)
Avant 10 6800
Médian 16 8700
Arrière 8 5300
De plus, les chargements des compartiments doivent être propor- tionnels à leurs capacités, de sorte à assurer la stabilité de l’avion.
Quatre cargos sont prêts pour l’expédition. Leurs caractéristiques sont les suivantes :
Cargo Tonnage (tonnes) Volume (m3/tonne) Profit (€/tonne)
C1 18 480 310
C2 15 650 380
C3 23 580 350
C4 12 390 285
On peut charger dans l’avion toute proportion de chaque cargaison.
Déterminer quel proportion de chaque cargo doit être chargée dans chaque compartiment afin de maximiser le profit.
