PSI* — 2020/2021 Pour le 05/02/2021.
D.M. 6
Exercice
Soit la matrice A=
4 −3 2 6 −5 4 4 −4 4
.
1) Déterminer le rang de A. Calculer son polynôme caractéristique et ses valeurs propres.
Donner une base de chaque sous-espace propre (on choisira des vecteurs dont la première composante est égale à 1).
2) On considère le système différentiel(S) : dX
dt =AX, oùX est une fonction de classe C1 deRdansR3. Déterminer la solutionX0 de(S)telle que X0(0) =
1 3 3
.
3) Montrer que la courbe paramétrée définie part→X0(t)est plane et préciser une équation de son plan.
Pouvait-on, sans intégrer le système (S), prévoir que les courbes paramétrées associées à ses solutions seraient situées dans des plans parallèles ?
Problème A
1) Étude de l’équation différentielle : x2y′+y=x (1) a)Soit f(x) =
∞
n=0
anxn une série entière solution de(1). Détermineran en fonction den.
b)Déterminer les solutions de(1) développables en série entière sur un intervalle]−α, α[avecα >0.
c)Étudier la convergence de l’intégralea(x) =
x 0
1
te−1/tdt, pourx >0.
d)Exprimer toutes les solutions de (1) sur]0,+∞[à l’aide de a(x).
2) Dans cette question et dans toute la suite du problème on pose : ∀x∈]0,+∞[ f(x) =e1/xa(x).
a)Démontrer que : ∀x∈]0,+∞[ f(x) =
+∞
0
e−u/x 1 +udu.
b)Montrer que l’unique solution de (1)sur ]0,+∞[prolongeable par continuité en 0 est la fonction f.
3) Étude de la fonction f au voisinage de 0 Dans toute la suite, on pose :
∀n∈N ∀x∈]0,+∞[ fn(x) =
n k=1
(−1)k−1(k−1)!xk et Rn(x) = (−1)n
+∞
0
tne−t/x 1 +t dt.
a)Justifier pour tout entiern≥0 la convergence de l’intégraleRn(x).
b)On admet que, pour tout entier naturel k,
+∞
0
uke−udu=k!.
En exprimant f(x)−Rn(x) comme une somme, prouver pour tout réel x >0la relation f(x)−Rn(x) =fn(x).
(f est la fonction définie à la question 2).)
c)Démontrer que la fonction f admet un développement limité à tout ordre en 0 et préciser ce développement.
d)Démontrer que f est de classeC∞ sur]0,+∞[et de classeC2 sur [0,+∞[.
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4) Étude de la fonction f au voisinage de +∞
On définit dans cette question la fonctiong:x→
∞
n=0
e−n/x 1 +n. a)Démontrer que g est définie et continue sur]0,+∞[.
b)Déterminer la limite de g(x)en 0.
c)Démontrer que : ∀x∈]0,+∞[ 0≤g(x)−f(x)≤1.
d)Calculer la somme de la série g(x) en fonction dex et l’exprimer à l’aide de fonctions usuelles.
e)En déduire que : f(x) ∼
x→+∞lnx.
Problème B
Dans tout le problème, Gdésigne l’ensemble des matrices de M2(R) de déterminant 1.
Siαest un réel et β un élément de{0,1}, on note(Eα,β) l’équation différentielle y′′(x) + (α−2βcos 2x)·y(x) = 0
etSα,β l’ensemble de ses solutions définies surR et à valeurs dansC.
Partie I
1) Montrer que Gest un groupe non commutatif pour la multiplication des matrices.
2) Soit A∈G. On note tsa trace.
a)Montrer que A admet une unique valeur propre µ∈C vérifiant :
|µ| ≤1 et Imµ≥0.
On exprimera µ en fonction det.
b)Prouver que :
|µ|= 1⇔ −2≤t≤2.
3) Soit A∈G. Prouver que 1 est valeur propre de A2 si et seulement si Aadmet une seule valeur propre complexe égale à 1 ou à −1.
4) a)Donner un exemple de matrice deGdiagonalisable dansM2(C)mais non diagonalisable dansM2(R).
b)Préciser toutes les matrices de Gqui ne sont pas diagonalisables dansM2(C).
Partie II 1) Soit α∈R etβ ∈ {0,1}.
a)Montrer qu’il existe un unique couple (C, S)d’éléments de Sα,β vérifiant C(0) = 1, C′(0) = 0 et S(0) = 0, S′(0) = 1. Ces fonctions dépendent bien sûr de α, β.
b)Montrer que (C, S) est une base deSα,β et déterminer les coordonnées d’un élémenty deSα,β dans cette base.
c)Montrer que C et S sont à valeurs dans R.
d)Dans la suite, on note Cα et Sα les fonctionsC et S précédentes dans le cas où β = 0. Déterminer ces fonctions Cα etSα.
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2) Dans cette question seulement, on supposeα >0 etβ = 1. On poseα=ω2 avec ω >0.
On définit la suite de fonctions(Un)n∈N par
∀x∈R U0(x) = cosωx et ∀n∈N∗ Un(x) = 1 ω
x 0
sin [ω(x−t)] 2 cos 2t Un−1(t)dt.
a)Trouver une constante M telle que :
∀n∈N ∀x∈R |Un(x)| ≤ Mn|x|n n! .
b)Montrer que la série de fonctions Unconverge uniformément sur tout segment[−A, A], avecA >0.
On note g sa somme. Montrer queg est continue surR. c)Établir :
∀x∈R g(x) = cosωx+ 1 ω
x 0
sin [ω(x−t)] 2 cos 2t g(t)dt.
d)Montrer que g est égale à la solution C de (Eα,1).
3) Pour tout y deSα,β on pose : y˜:x→y(π+x) et yˆ:x→y(π−x) et l’on définit les applications ϕ:y→y˜etψ:y→y.ˆ
a)Montrer que ϕetψ sont deux endomorphismes deSα,β et calculer ψ◦ψ. b)On note A la matrice C(π) S(π)
C′(π) S′(π) . Montrer que A∈G.
On pourra utiliser la fonction W :x→ C(x) S(x)
C′(x) S′(x) )et montrer que Aest la matrice de ϕdans une certaine base de Sα,β que l’on précisera.
c)Montrer que ψ est diagonalisable.
Déterminer la matrice B deψ dans la base(C, S) et les valeurs propres de ψ.
En déduire que : S′(π) =C(π).
4) On note τ la trace de la matriceAprécédente.
a)Établir l’équivalence des propositions suivantes : (i) τ = 2 ou τ =−2 ;
(ii) (Eα,β) admet une solution non nulleπ-périodique ou une solution non nulle π-antipériodique (c’est-à-dire vérifiant : ∀x∈R y(π+x) =−y(x)).
b)Montrer que les propositions (i) et(ii) sont aussi équivalentes à : (iii) S(π)C′(π) = 0.
c)Montrer que (Eα,β) admet une solution non nulle2π-périodique si et seulement si τ = 2 ou τ =−2.
Déterminer les réels αpour lesquels (Eα,0) admet une solution non nulle2π-périodique.
Les choses doivent être aussi simples que possible, mais pas plus.
(Albert Einstein)
