A423. Association unitaire
Je suis un entier égal au produit de six nombres premiers distincts. La somme de mon inverse et des inverses de mes six facteurs premiers est égale à l’unité. Qui suis-je ?
On utilise l’identité qui permet de générer des fractions égyptiennes :
1 = 1
+ 1+ 1
( + 1) (1)
Au début, ça fonctionne bien, mais 1807 = 13.137 n’est pas premier.
1 2+1
3+1 7+ 1
43+ 1 1807+ ⋯ On modifie l’identité initiale de la façon suivante :
=
2 − + ( − ) (2 − ) (2)
En choisissant la plus grande valeur de inférieure à 2 et telle que divise 2 − et que
soit premier.
fraction à décomposer
2 −
2 −
( − ) (2 − ) 1
1 1 1 1
2 − 0 1
2
1 2
peut aussi être obtenu avec (1) 1
2 1 2 1
4 − 1 1
3
1 6
peut aussi être obtenu avec (1)
1
6 1 6 1
12 −
5 1
7
1 42
on retombe sur le premier essai avec (1)
1 1
11
5 66 5
66 5 66 5
132 − 17 1
23
49 49 1518
1518 49 1518 49
3036 − 1517 1
31
1 47058 1
47058 1 47058 1
94116 − 47057 1 47059
1 2214502422
peut aussi être obtenu avec (1)
Et comme 2.3.11.23.31.47059 = 2214502422, on a répondu à la question.
1 =1 2+1
3+ 1 11+ 1
23+ 1 31+ 1
47059+ 1
2.3.11.23.31.47059
