Je suis un entier égal au produit de six nombres premiers distincts. La somme de mon inverse et des inverses de mes six facteurs premiers est égale à l’unité. Qui suis-je ?
Le plus petit de ces nombres premiers est égal à 2, car 1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/(3*5*7*11*13*17)<1.
De même, le suivant est égal à 3 ou 5 car
1/2+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/(2*7*11*13*17*19)<1 Mais c’est l’un ou l’autre, puisque 1/2+1/3+1/5>1
Si les deux premiers sont 2 et 3, les quatre autres p<q<r<s vérifient 1/p+1/q+1/r+1/s+1/6pqrs=1/6 ; pqrs-6qrs-6prs-6pqs-6pqr-1=0 ou encore 6pqr+1=s(pqr-6(qr+rp+pq))
Pour p=11, q=23, r=31, pqr-6(qr+rp+pq)=1, et 6pqr+1=47059, qui est premier On obtient donc une solution : 2*3*11*23*31*47059=2 214 502 422
1/2+1/3+1/11+1/23+1/31+1/47059+1/(2*3*11*23*31*47059)=1
