A423 – Association unitaire [*** à la main]
Je suis un entier égal au produit de six nombres premiers distincts. La somme de mon inverse et des inverses de mes six facteurs premiers est égale à l’unité. Qui suis-je ?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Soit la suite Sn = U1 , U2 , .... P(Ui)+1 telle que U1 x U2 +1 = U3 , U1 x U2 x U3 + 1 = U4 ....
Ainsi avec p1 = 2 , p2 = 3 il vient p3 = 2x3+1 = 7 (premier) , p4 = 2 x 3x 7 +1 = 43 (premier) p5 = 2 x 3 x 7 x 43 + 1 = 1807 (pas premier car 1807 = 13 x 139) & 2 x 3 x 7 x 43 x 1807 +1 = 3263443 (premier)
Le produit de ces 6 nombres est le nombre N = 10 650 056 950 806 avec 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/3263443 + 1/N = 1 mais comme 1807 n'est pas premier, cette solution est à exclure.
La solution avec 6 nombres premiers est la suivante:
1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/47059 + 1/ 2214502422 = 1
Le produit des 6 premiers 2 x 3 x 11 x 23 x 31 x 47059 = 2214502422
En fait au départ la somme des 5 premières fractions donne 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 = 47057/47058
Il manque donc 1/47058 . Or on sait aussi , et c'est toujours vrai quelque soit n > 1, que:
1/(n-1) = 1/n + 1/(n.(n-1)) . On reconnaît n-1 = 47058 , produit des 5 premiers dénominateurs . Alors n = 47059 .
Le nombre cherché est bien : 47058 x 47059 = 2214502422
