A423 – Association unitaire
Je suis un entier égal au produit de six nombres premiers distincts. La somme de mon inverse et des inverses de mes six facteurs premiers est égale à l’unité. Qui suis-je ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Notons a, b, c, d, e, f ces six nombres premiers distincts et supposons les classés dans l'ordre croissant.
Notons F(a,b,c,d,e,f) la somme définie par l'énoncé, soit : F(a,b,c,d,e,f) = 1/abcdef + 1/a + 1/b... + 1/f
À l'évidence, F(a,b,c,d,e,f) est une fonction décroissante de chacune de ses variables.
Les valeurs de la fonction F se calculent aisément au moyen d'un tableur et ce calcul permet un utile dégrossissage.
a = 2
On peut immédiatement noter que 2 doit figurer au nombre des variables a, b, c, d, e, f et, comme elles sont classées dans l'ordre croissant, a = 2.
En effet, le tableur nous enseigne que, si la liste des variables commence par a ≥ 3, F peut valoir au maximum F(3,5,7,11,13,17) = 0,90285009.
F étant une fonction décroissante de chacune de ses variables, on ne peut que la faire décroître en augmentant l'une d'entre elles et on n'atteindra donc pas F= 1.
b = 3 ou 5
Si l'on commence la liste par 2,7, et que l'on poursuive par les plus petits nombres premiers au-delà, on obtient F(2,7,11,13,17,19) = 0,9221459. En augmentant l'une ou plusieurs des 4 plus grandes variables, on ne peut que faire décroître F.
Donc 3 et 5 ne peuvent être tous deux absents de la liste a, b, c, d, e, f. Donc la seconde variable dans l'ordre croissant est b = 3 ou 5.
Quelques tâtonnements avec a, b, c = 2, 3, 5 ne donnant rien, on essaye a, b, c = 2, 3, 7
si a, b, c = 2, 3, 7 On constate que :
1) 1/2 + 1/3 + 1/7 +1/2×3×7 = 1 Cela suggère de chercher d tel que :
2) 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/d + 1/2×3×7×d = 1 Ce qui, compte-tenu de (1), implique :
1/d = 1/42 (1 – 1/d) d'où : d = 43
On notera que cette valeur de d est égale au produit des facteurs a, b, c augmenté de 1.
En poursuivant de la même manière, on détermine e par : 1/e = (1 – 1/e) / (2×3×7×43)
D'où :
e = 2×3×7×43 + 1 = 1807
Même remarque que ci-dessus : cette valeur de e est égale au produit des facteurs a, b, c, d augmenté de 1.
Mais cette valeur ne convient pas, car 1807 n'est pas un nombre premier.
Une autre idée est de rechercher conjointement deux nombres premiers x et y tels que F(2,3,7,43,x,y) = 1, ce qui conduirait à l'équation :
xy – 1806 (x+y) – 1 = 0.
Le site de Dario Alpern ne donne, pour solutions avec x et y > 0, que : x = 1807
y = 3263443 x = 1823 y = 193667
Mais ni 1807 ni 193667 ne sont premiers.
si a, b, c = 2, 3, 11
Nous venons de voir (sur l'exemple 2, 3, 7…) que, si le k-tuple de facteurs a, b… satisfait : Fk (a, b…) = 1/a + 1/b +… + 1/ab… = 1,
alors on a aussi :
Fk+1 (a, b…x) = 1/a + 1/b +… + +1/x + 1/ab…x = 1, avec x = ab… + 1.
Cette propriété s'établit aisément et se généralise de proche en proche à k quelconque, le problème restant que l'on n'est pas assuré de ne trouver que des nombres premiers.
Avec a, b, c = 2, 3, 11, on constate, moyennant quelques tâtonnements sur quelques nombres premiers, que :
F5 (2, 3, 11, 23, 31) = 1.
Il en résulte que :
F6 (2, 3, 11, 23, 31, x) = 1,
avec x = 2×3×11×23×31 + 1 = 47 059 (qui est premier).
Le nombre cherché est donc :
N = 2×3×11×23×31×47 059 = 2 214 502 422
