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110 – Nombres premiers. A.

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Academic year: 2022

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110 – Nombres premiers. A.

« Quand vous étiez petits, vous connaissiez N. Puis après, vous avez appris que le mal existait : Z, les négatifs ! »

Le plan :

I) Résultats fondamentaux.

Résultats dus à Euclide. Infinité de nombres premiers. Z est factoriel. Valuation p-adique.

Propriétés de congruence. Fermat, Wilson, Fermat-Euler. Application au système de cryptage RSA.

II) Localisation.

Dirichlet faible. ∑ 1/p=+∞. Tchebychev. Théorème des nombres premiers. Nombres

remarquables : Fermat, Mersenne. Tests de primalité : cribles d’Eratosthène et Matiiasevitch, test de Fermat, Lucas-Lehner.

III) Arithmétique.

Indicatrice d’Euler. Propriétés générales. Symbole de Legendre : critère d’Euler, loi de réciprocité quadratique. Théorème de Frobenius-Zolotarev. Somme de deux carrés : Z[i], théorème des deux carrés.

IV) Applications.

Théorie des groupes : groupes cycliques, théorèmes de Sylow. Corps finis : construction, existence, caractéristique. Réduction des polynômes : Eisenstein, réduction modulo p.

Les développements :

A16 : Frobenius-Zolotarev A20 : Théorème des deux carrés A21 : Théorème de Tchebychev La bibliographie :

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