symbole legendre 2

DM maison

Notations, rappels

L’ensemble des entiers naturels est not´e N, celui des entiers relatifs Z. On note (Z/nZ)^× le groupe des ´el´ements de Z/nZ inversibles pour la multiplication. Pour a∈Z etn∈Z, on note [a]n (a s’il n’y a pas d’ambiguit´e) la classe dea dans Z/nZ. On dira quea(resp.a) est un carr´e modulon (resp. un carr´e deZ/nZ) si l’´equation x² ≡a (mod n) admet au moins une solution.

Pour n ∈ Z, on note Sn un syst`eme de r´esidus complet modulo n (i.e. tout a ∈ Z est congru, modulo n, `a un unique ´el´ement de S_n). On note T_n l’ensemble T_n = {0,1,· · · , n−1} et, pour n impair, M_n l’ensemble :

M_n={−n−1

2 ,−n−3

2 ,· · · ,−1,0,1,· · ·,n−1 2 }

En particulier,T_netM_nsont des syst`emes de r´esidus complets modulon. On d´esigne par bzc la partie enti`ere de z ∈R.

Dans tout le devoir, le lettre p d´esigne un nombre premier impair.

I. Premi`eres propri´et´es

I.1. Montrer que pour tout syst`eme complet de r´esidus modulo p, S_p, on a : X

j∈S_p

e^2iπjp =

p−1

X

k=0

e^2iπkp = 0

I.2. Soit a∈Z non divisible par p, montrer, que dans Z/pZ, l’´equation : x² =a

admet exactement 0 solution ou 2 solutions.

On consid`ere l’application :

q : (Z/pZ)^× −→ (Z/pZ)^×

x 7−→ x²

I.3. Montrer que q est un homomorphisme de groupes. Calculer kerq.

I.4. En d´eduire qu’il y a exactement ^p−1₂ carr´es non-nuls dansZ/pZ.

On d´esigne par Q^×_p l’image de q. Ainsi, Q^×_p est l’ensemble des carr´es non-nuls deZ/pZ.

Soit f(X) = X^p−12 ∈(Z/pZ)[X].

I. 5. i. Montrer que pour tout a∈Z/pZ on a : f(a)∈ {−1,0,1}

I. 5. ii. Montrer que l’´equation f(X) = 1 admet au plus ^p−1₂ solutions. En d´eduire que f(a) = 1 si et seulement si a est un carr´e non-nul de Z/pZ.

On d´efinit le symbole de Legendre par : a

p

=







1 si a∈Q^×_p

0 si a≡0 (mod p)

−1 sinon I.6. Montrer que pour tout a∈Z, on a :

a p

≡a^p−12 (mod p) I.7. Montrer que pour a, b ∈Z on a :

ab p

= a

p b p

II. Carr´es modulo m

II. 1. Soient m1 et m2 deux entiers premiers entre eux. Montrer que pour tout (a₁, a₂)∈Z×Z, il existe x∈Z tel que :

x≡a₁ (mod m₁) et x≡a₂ (mod m₂)

Montrer que la classe de x dans Z/m1m2Z est uniquement d´etermin´ee par la classe dea₁ dans Z/m₁Z et la classe dea₂ dans Z/m₂Z.

II. 2. Soient m1 et m2 deux entiers premiers entre eux et a ∈ Z. Montrer que a est un carr´e modulom₁m₂si et seulement siaest un carr´e modulom₁ et modulom₂. II. 3. Soitpun nombre premier impair et a un entier premier avecp. Montrer que a est un carr´e modulo pⁿ (n≥1) si et seulement si a est un carr´e modulop. (Indica- tion : pour une des deux implications, faire une r´ecurrence surn. Six² ≡a (mod pⁿ) on pourra chercher un ´el´ementyde la formey=x+upⁿtel quey² ≡a (mod pⁿ⁺¹)).

II. 4. Montrer que p n’est jamais un carr´e modulopⁿ pourn≥2.

II. 5. Quels sont les carr´es dansZ/2Z? Dans Z/4Z? Dans Z/8Z?

II. 6. Soientn ≥3 etaun entier impair, montrer que aest un carr´e modulo 2ⁿ si et seulement si a ≡1 (mod 8). (Pour une des deux implications, faire une r´ecurrence surn. Six² ≡a (mod 2ⁿ) on pourra chercher un ´el´ementyde la formey=x+u2ⁿ⁻¹ tel que y² ≡a (mod 2ⁿ⁺¹)).

II. 7. Est-ce que 29089966990569 est un carr´e modulo 320000000000 ? III. Somme de deux carr´es

III. 1. Montrer que −1 est un carr´e modulop si et seulement sip≡1 (mod 4).

III. 2. On suppose dans cette question que p≡1 (mod 4), et on pose N =b√ pc.

III. 2. i. Soit x∈Z tel que x² ≡ −1 (mod p). Montrer que dans l’ensemble {u+vx|0≤u, v ≤N}

il existe au moins deux ´el´ements qui sont congrus modulo p. (On pourra utiliser le principe des tiroirs).

III. 2. ii. En d´eduire que la congruence u ≡ vx (mod p) poss`ede une solution (u, v)6= (0,0) avec |u|<√

p et|v|<√ p.

III. 2. iii. Montrerppeut s’´ecrire comme la somme de carr´es dans Z(i.e.p=a²+b² avec a,b ∈Z).

III. 3. Soit N =a²+b² une somme de deux carr´es dans Zaveca etb premiers entre eux. Soit`un nombre premier divisantN. Montrer que` = 2 ou que`≡1 (mod 4).

III. 4. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4m+ 1.

IV. Loi de r´eciprocit´e quadratique

On note r = ^p−1₂ . Dans cette partie q d´esigne un entier premier avec p.

IV. 1. Justifier qu’il existe r nombres entiers m₁, m₂, · · ·, m_r v´erifiant les condi- tions suivantes :

1. Pour tout 1≤i≤r on a m_i ∈M_p\ {0}.

2. On a m₁ < m₂ <· · ·< m_r.

3. Pour tout k ∈ {1,2· · ·, r}, il existe un unique i∈ {1,2,· · · , r} tel que m_i ≡kq (mod p)

On appelle λ le nombre des m_i qui sont n´egatifs et µ le nombre des m_i qui sont positifs, de sorte que r=λ+µet que

−r ≤m₁ < m₂ <· · ·< m_λ <0< m_λ+1 < m_λ+2 <· · ·< m_λ+µ≤r IV. 2. Montrer que

{(−m₁),(−m₂),· · · ,(−m_λ), m_λ+1, m_λ+2,· · · , m_λ+µ}={1,2,· · · , r}

(On pourra commencer par montrer que les nombres de l’ensemble de gauche sont deux `a deux non congrus modulo p).

IV. 3. En d´eduire que (−1)^λm₁m₂· · ·m_λ+µ =r!.

IV. 4. Montrer que m1m2· · ·mλ+µ ≡q^rr! (mod p).

IV. 5. En d´eduire le crit`ere de Gauss : pour tout entier q premier avec p, on a : q

p

= (−1)^λ

V. On r´eutilise les notations des questions IV.

V. 1. Montrer que :

(−m₁) + (−m₂) +· · ·+ (−m_λ) +m_λ+1+m_λ+2+· · ·+m_λ+µ= p²−1 8

V. 2. On d´esigne par n₁, n₂, · · ·, n_r lesr entiers v´erifiant les propri´et´es suivantes : 1. Pour tout 1≤i≤r on a n_i ∈T_p.

2. On a n₁ < n₂ <· · ·< n_r.

3. Pour tout k ∈ {1,2· · ·, r}, il existe un unique i∈ {1,2,· · · , r} tel que n_i ≡kq (mod p)

Montrer que l’on a :

n₁ < n₂ <· · ·< n_µ< p

2 < n_µ+1 < n_µ+2 <· · ·< n_µ+λ et que

ni = mλ+i si 1 ≤i≤µ n_µ+i = p+m_i si 1 ≤i≤λ V. 3. En d´eduire que :

p²−1

8 =λp+A−B

avec A=n₁+n₂+· · ·+n_µ etB =n_µ+1+n_µ+2+· · ·+n_µ+λ.

V.4. Montrer que pour k = 1,2,· · · , r, il existe un unique j ∈ {1,2,· · · , r} tel que

kq = kq

p

p+n_j En d´eduire que

qp²−1 8 =p

q p

+ 2q

p

+· · ·+ rq

p

+A+B On d´esigne par [q, p] le nombre :

q p

+ 2q

p

+· · ·+ rpq

p

o`ur_p = ^p−1₂ .

A partir de maintenant, on suppose que` q est nombre premier impair diff´erent dep.

V. 5. Montrer queλ et [q, p] ont mˆeme parit´e et que l’on a : q

p

= (−1)^[q,p]

V. 6. Dans R², on place les points O = (0,0), A= (^p₂,0), B = (0,^p₂) et C = (^p₂,^q₂).

Le quadrilat`ere OACB est un rectangle.

V. 7. Montrer que le nombre de points `a coordonn´ees enti`eres (bords exclus) `a l’int´erieur de ce rectangle est donn´e par : ^p−1₂ ·^q−1₂ .

V. 8. i. Montrer que le nombre de points `a coordonn´ees enti`eres (bords exclus)

`

a l’int´erieur du triangle OAC est [q, p].

V. 8. ii. Montrer que le nombre de points `a coordonn´ees enti`eres (bords exclus) `a l’int´erieur du triangleOBC est [p, q].

V. 8. iii. Montrer que la diagonale [OC] du rectangle ne contient aucun point `a coordonn´ees enti`eres `a part le point O.

V.9. En d´eduire que [q, p] + [p, q] = ^p−1₂ · ^q−1₂ .

V. 10. Montrer la loi de r´eciprocit´e quadratique : sipetqsont deux nombres premiers impairs distincts on a :

q p

= (−1)^{p−12 ·q−12} p

q

V. 11. Calculer 63

73

.