Nombres premiers
I) Multiples et diviseurs : a) Définition :
Quand le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b est zéro, on dit que :
• b divise a ou que b est un diviseur de a.
• a est un multiple de b ou que a est divisible par b.
Exemple :
126 3 6 42 0
Comme le reste de la division de 126 par 3 est 0, on peut donc dire que :
• 3 divise 126 ou que 3 est un diviseur de 126.
• 126 est un multiple de 3 ou que 126 est divisible par 3.
b) Critères de divisibilité :
Pour savoir si un entier est divisible par un autre entier, il n’est pas toujours nécessaire d’effectuer la division euclidienne.
On dispose pour cela de critères de divisibilité qui sont des techniques simples pour déterminer si un entier est un diviseur d’un autre entier.
1) Critère de divisibilité par 2 :
Un nombre entier est divisible par 2si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ( ce qui définit un nombre pair ) .
2) Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Exemples :
12 456 : 1 + 2 + 4 + 5 + 6 = 18. Comme 18 est divisible par 3, 12 456 l’est aussi.
36 412 : 3 + 6 + 4 + 1 + 2 = 16. Comme 16 n’est pas divisible par 3, 36 412 ne l’est pas non plus.
3) Critère de divisibilité par 4 :
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres ( chiffre des dizaines et des unités ) est un multiple de 4.
Exemples :
12 456 : Comme 56 est un multiple de 4 ( 56 = 4 × 14 ) , on en déduit que 12 456 est divisible par 4.
36 414 : Comme 14 n’est pas un multiple de 4 ( 14 n’est pas dans la table de 4 ) , on en déduit que 36 414 n’est pas divisible par 4.
4) Critère de divisibilité par 5 :
Un nombre entier est divisible par 5si son chiffre des unités est 0 ou 5.
5) Critère de divisibilité par 6 :
Un nombre entier est divisible par 6s’il est divisible par 2 et par 3.
Exemples :
126 : 1 + 2 + 6 = 9. Comme 9 est divisible par 3, 126 aussi.
De plus, 126 se termine par 6 donc est divisible par 2.
Conclusion : 126 est divisible par 6.
351 : Comme 351 se termine par 1, il n’est pas divisible par 2.
Conclusion : 351 n’est pas divisible par 6.
6) Critère de divisibilité par 9 :
Un nombre entier est divisible par 9si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples :
12 456 : 1 + 2 + 4 + 5 + 6 = 18. Comme 18 est divisible par 9, 12 456 l’est aussi.
36 412 : 3 + 6 + 4 + 1 + 2 = 16. Comme 16 n’est pas divisible par 9, 36 412 ne l’est pas non plus.
7) Critère de divisibilité par 10 :
Un nombre entier est divisible par 10si son chiffre des unités est 0.
II) Nombres premiers : a) Définition :
Un nombre premierest un nombre qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui- même.
Remarque : 1 n’est pas un nombre premier.
Exemples :
Voici la liste des 10 premiers nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.
b) Propriété :
Tout nombre entier peut se décomposer de manière unique sous la forme d'un produit de nombres premiers.
Exemple :
Déterminons la décomposition en produit de nombres premiers de 3 960.
3960 ÷ 2 = 1980 car 3 960 est pair donc divisible par 2.
1980 ÷ 2 = 990 car 1 980 est pair donc divisible par 2.
990 ÷ 2 = 495 car 990 est pair donc divisible par 2.
495 ÷ 5 = 99 car 495 se termine par 5 donc divisible par 5.
99 ÷ 3 = 33 car 9 + 9 = 18 ( 18 est divisible par 3) donc divisible par 3.
33 ÷ 3 = 11 car 3 + 3 = 6 ( 6 est divisible par 3) donc divisible par 3.
Comme 11 est premier, on conclut que :
3 960 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 11.
Ce qu’on peut écrire sous la forme 3 960 = 23 × 32 × 5 × 11
c) Application à la simplification de fractions : Définition :
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont 1 pour seul diviseur commun.
Exemple n°1 : Rendre irréductible la fraction ସଶ
ଶଽସ. Méthode :
1) On détermine pour le numérateur et le dénominateur leur décomposition en produit de facteurs premiers :
Numérateur 462 :
462 ÷ 2 = 231 car 462 est pair donc divisible par 2.
231 ÷ 3 = 77 car 2 + 3 + 1 = 6 est divisible par 3 donc 231 aussi.
77 ÷ 7 = 11.
Comme 11 est premier, on conclut que 462 = 2 × 3 × 7 × 11.
Dénominateur 294 :
294 ÷ 2 = 147 car 294 est pair donc divisible par 2.
147 ÷ 3 = 49 car 1 + 4 + 7 = 12 est divisible par 3 donc 147 aussi.
49 ÷ 7 = 7.
Comme 7 est premier, on conclut que 294 = 2 × 3 × 7 × 7.
2) On remplace dans la fraction le numérateur et le dénominateur par leur décomposition en produit de facteurs premiers :
ସଶ
ଶଽସ = ଶ × ଷ × × ଵଵ ଶ × ଷ × ×
3) On raye les nombres premiers qui apparaissent en même temps au numérateur et au dénominateur :
ସଶ
ଶଽସ = ଶ × ଷ × × ଵଵ ଶ × ଷ × ×
4) On effectue les éventuels produits restants au numérateur et au dénominateur afin d’obtenir la fraction irréductible :
ସଶ ଶଽସ = ଵଵ
Exemple n°2 : Effectuer la somme des fractions ସଶ
ଶଽସ+ ଷ
ଵଶ .
Avant d’effectuer une somme de fractions, il faut toujours les rendre
irréductible lorsqu’il n’est pas aisé de passer d’un dénominateur à l’autre ( on rappelle que pour ajouter des fractions, il faut qu’elles aient le même
dénominateur ).
On sait déjà que ସଶ
ଶଽସ = ଵଵ
.
Simplifions la deuxième fraction ଷ
ଵଶ :
Numérateur 306 :
306 ÷ 2 = 153 car 306 est pair donc divisible par 2.
153 ÷ 3 = 51 car 1 + 5 + 3 = 9 est divisible par 3 donc 153 aussi.
51 ÷ 3 = 17 car 1 + 5 = 6 est divisible par 3 donc 51 aussi.
Comme 17 est premier, on conclut que 306 = 2 × 3 × 3 × 17.
Dénominateur 126 :
126 ÷ 2 = 63 car 126 est pair donc divisible par 2.
63 ÷ 3 = 21 car 6 + 3 = 9 est divisible par 3 donc 63 aussi.
21 ÷ 3 = 7.
Comme 7 est premier, on conclut que 126 = 2 × 3 × 3 × 7.
Puis : ଷ
ଵଶ = ଶ × ଷ × ଷ × ଵ
ଶ × ଷ × ଷ × ce qui permet de conclure que ଷ
ଵଶ = ଵ
.
Ainsi :
462 294+
306 126 =
11 7 +
17 7 =
28 7
