A423 Asso UNITAIRE 2
Je suis un entier égal au produit de six nombres premiers distincts. La somme de mon inverse et des inverses de mes six facteurs premiers est égale à l’unité. Qui suis-je ?
Soit a<b<c<d<e<f avec a, b, c, d, e, f , tous premiers, et S=1/(abcdef)+1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f = 1
On a les inégalités : 1/a6 +6/a > S
1/(ab5 )+1/a + 5/b > S 1/(abc4 )+1/a + 1/b + 4/c > S etc...
Si on néglige le premier terme, on a grosso-modo : a<6
b< 5a/(a-1), c< 4ab/(ab-a-b), d<3abc/(abc-ab-ac-bc)
e<2abcd/(abcd-abc-bcd-cda-dab)
il faut aussi 1/a+1/b<1 d'où b> a/(a-1), 1/a+1/b+1/c<1 d'où c> ab/(ab-a-b) etc..
Résumé :
sup(a, a/(a-1)) < b < 5a/(a-1)
sup(b, ab/(ab-a-b)) < c < 4ab/(ab-a-b),
sup(c, abc/(abc-ab-ac-bc) <d < 3abc/(abc-ab-ac-bc)
sup( d, abcd/(abcd-abc-bcd-cda-dab)) < e <2abcd/(abcd-abc-bcd-cda-dab)
a=2 ou 3 mais pas 5 (si a=5 il faut 5<b<6,25 ce qui est incompatible avec b nombre premier ) si a=2 2<b<10 b dans {3, 5, 7}
si a=3 3<b<7,5 b dans {5, 7}
si (a,b) = (2, 3) 6<c<24 c dans {7, 11, 13, 17, 19, 23}
si (a,b) = (2,5) 5<c<13,3 c dans {7, 11, 13}
si (a,b) = (2,7) 7<c<11,2 c = 11
si (a,b) = (3, 5) 5<c<8,57 c = 7 (si (a,b) = (3, 7) 7<c<7,6 ne convient pas) si (a, b, c) = (2, 3, 7) 42<d<126
d dans { 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113}
si (a, b, c) = (2, 3, 11) 13,2<d< 39,6 d dans {17, 19, 23, 29, 31, 37}
si (a, b, c) = (2, 3, 13) 13 <d < 33,4 d dans {17, 19, 23, 29, 31}
si (a, b, c) = (2, 3, 17) 17 < d< 27,8 d dans {19, 23}
si (a, b, c) = (2, 3, 19) 19 < d <26,3 d = 23 si (a, b, c) = (2, 3, 23) 23 < d < 24,35 rien
si (a, b, c) = (2, 5, 7) 7 < d < 19,09 d dans {11, 13, 17, 19}
si (a, b, c) = (2, 5, 11) 11 < d < 14,34 d = 13 si (a, b, c) = (2, 5, 13) 13 < d < 13,44 rien
A ce stade le nombre de candidats quadruplets (a,b,c,d) est 17+6+5+2+1+4+1 = 36
Soit P le produit abcde, supposons que 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e = (P-1)/P, il faut 1/(Pf)+1/f = 1/P, 1/P+1 = f/P, donc f = P+1. Dans la relation 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e + 1/P = 1, P est beaucoup plus grand que e de sorte que e est la valeur approchée à une unité près par excès de
1/[1 – ( 1/a+1/b+1/c+1/d) ]
Les 36 cas étudiés dans le tableau suivant se réduisent à 10, si on ne retient que ceux avec e premier En éliminant les cas où e<d et ceux où le nombre de l'avant dernière colonne n'est pas un entier, il reste uniquement (a, b, c, d, e, f) = (2, 3, 11, 23, 31, 47059) qui est bien une solution car 47059 est un nombre premier.
a b c d À arrondir e 1/(1-a-1-b-1-c-1-d-1-e-1) f
La seule solution est 2, 3, 11, 23, 31, 47059
2
-1+ 3
-1+ 11
-1+ 23
-1+ 31
-1+ 47059
-1+ 2214502422
-1= 1
Le nombre demandé est 2
*3
*11
*23
*31
*47059 = 2214502422
2 3 7 43 1806 1806
2 3 7 47 394,8 395
2 3 7 53 202,36363636 203
2 3 7 59 145,76470588 146
2 3 7 61 134,84210526 135
2 3 7 67 112,56 113 28907,454545 N
2 3 7 71 102,82758621 103 61429,2 N
2 3 7 73 98,903225806 99
2 3 7 79 89,675675676 90
2 3 7 83 85,024390244 86
2 3 7 89 79,531914894 80
2 3 7 97 74,072727273 75
2 3 7 101 71,898305085 72
2 3 7 103 70,918032787 71 61429,2 N
2 3 7 107 69,138461538 70
2 3 7 109 68,328358209 69
2 3 7 113 66,845070423 67 28907,454545 N
2 3 11 17 59,052631579 60
2 3 11 19 43,24137931 44
2 3 11 23 30,979591837 31 47058 47059
2 3 11 29 24,227848101 25
2 3 11 31 22,988764045 23 47058
2 3 11 37 20,521008403 21
2 3 13 17 32,341463415 33
2 3 13 19 26,945454545 27
2 3 13 23 21,614457831 22
2 3 13 29 18,096 19 380,33628319 N
2 3 13 31 17,395683453 18
2 3 17 19 18,112149533 19 387,6 N
2 3 17 23 15,536423841 16
2 3 19 23 14,172972973 15
2 5 7 11 15,098039216 16
2 5 7 13 12,465753425 13 303,33333333 N
2 5 7 17 10,170940171 11 134,94845361 N
2 5 7 19 9,5683453237 10
2 5 11 13 7,5661375661 8
