Soitf :E→F, pour A⊂E etB ⊂F ´ecrire la d´efinition de f(A) et f−1(B)

NOM: INTERROGATION N^◦5 03/12/2019

Exercice 1 (Somme, produits et coefficients binomiaux).

1. Rappeler la valeur deS_n=

n

X

k=0

k.

2. Rappeler la valeur deS =

n

X

k=m

u_k o`u (u_k) est une suite g´eom´etrique de raisonq6= 1.

3. Rappeler l’identit´e remarquable de factorisation de aⁿ−bⁿ (quantificateurs !).

4. Rappeler la d´efinition du coefficient binomial pourn∈. . . .etp∈. . . .

5. Rappeler la formule sur les coefficients binomiaux permettant d’´ecrire le triangle de Pascal.

6. Rappeler la formule du binˆome de Newton (quantificateurs !).

7. Donner les valeurs deAn=

n

X

k=0

n k

et Bn=

n

X

k=0

(−1)^k n

k

.

Exercice 2 (Ensembles et applications).

8. Soitf :E→F, pour A⊂E etB ⊂F ´ecrire la d´efinition de f(A) et f⁻¹(B).

9. Soitf :E→F, ´ecrire avec des quantificateurs la d´efinition def injective.

10. Soitf :E→F, ´ecrire avec des quantificateurs la d´efinition def surjective.

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NOM: INTERROGATION N^◦5 03/12/2019

Exercice 3 (Calcul matriciel).

11. ´Ecrire la matriceA de M_3,2(R) telle quea_i,j =i+j.

12. SoitA∈ M_n,p(K) et B∈ M_p,q(K), alors C=AB∈. . . etc_i,j =. . . .

13. SoitA∈ M_n,p(K) et B∈ M_p,q(K), alors ^t(^tA) =. . . .et^t(AB) =. . . . SoitA, B ∈ M_n,p(K) et λ, µ∈K, alors ^t(λA+µB) =. . . .

14. SoitA une matrice carr´ee de taille n, d´efinition deA inversible.

15. SoitA une matrice carr´ee de taille ninversible etλ∈K^∗, compl´eter

(A⁻¹)⁻¹=. . . (λA)⁻¹=. . . (AB)⁻¹=. . . (^tA)⁻¹=. . . .

16. A quelle conditionA=

a b

c d

∈ M₂(K) est-elle inversible ? Donner alors son inverse.

17. D´efinition d’une matriceA∈ M_n(K) sym´etrique.

18. D´efinition d’une matriceA∈ M_n(K) antisym´etrique.

19. La formule du binˆome de Newton s’applique-t-elle pour les matrices ?

20. Que dire pr´ecis´ement du produit de deux matrices triangulaires sup´erieures de M_n(K) ?

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