Les choses doivent être aussi simples que possible, mais pas plus.

(1)

PSI* — 2019/2020 Le 30/11/2019.

D.S. 3

^{(4 heures)}

Le sujet se compose de trois problèmes indépendants.

Problème A

1) Étude préliminaire d’une fonction : soit f la fonction numérique déﬁnie surR par

∀x∈R f(x) = x 1 +e^x.

Étudier les variations de f. Montrer que l’équation f^′(x) = 0 admet une unique solution α dans R, vériﬁant :

α >1 et f(α) =α−1.

Dans la suite du problème, on étudie la suite de fonctions (un) déﬁnie sur [0,1] par :

∀x∈[0,1] u0(x) = 1 et ∀n∈N un+1(x) = 1−x+ x

2 ·un(x) ·un(x) et l’on note hla fonction déﬁnie sur [0,1]par :

∀t∈[0,1] h(t) =t· 1− t 2 . 2) Montrer par récurrence que :

∀x∈[0,1] ∀n∈N 0≤un(x)≤1, puis que :

∀x∈[0,1] ∀n∈N u^′_n(x)≤0.

3) a)Établir :

∀x∈[0,1] ∀n∈N (1−x)ⁿ≤un(x)≤ 1−x 2

n.

b)En déduire la convergence simple sur [0,1] de la suite de fonctions (un) vers une limite que l’on précisera. Y a-t-il convergence uniforme sur [0,1]? Et sur [ε,1], pourε∈]0,1[ ?

c)Montrer que, pour toutxﬁxé dans[0,1], la suite numérique de terme généralun(x)est décroissante.

4) a)Montrer que :

∀(a, b)∈[0,1]² |h(a)−h(b)| ≤ |a−b|. b)En déduire :

∀x∈[0,1] ∀k∈N uk(x)−uk+1(x) − uk+1(x)−uk+2(x) ≤x· uk(x)−uk+1(x) puis

∀x∈[0,1[ ∀k∈N 0≤uk(x)−uk+1(x)≤ uk+1(x)−uk+2(x)

1−x .

5) Dans cette question, on ﬁxe ndansN etx dans[0,1[.

a)En utilisant l’encadrement précédent et le sens de variation de h, montrer que :

∀k∈N x≤

uk(x) uk+1(x)

dt

h(t) ≤ x 1−x. b)En déduire :

nx≤

1 un(x)

dt

h(t) ≤ nx 1−x. En calculant cette dernière intégrale, établir :

2

1 +e^nx/(1−x) ≤un(x)≤ 2 1 +e^nx.

(2)

PSI* — 2019/2020 — D.S. 3 (4 heures) Page 2/4

6) Soit (vn) la suite de fonctions déﬁnie sur[0,1]par :

∀n∈N ∀x∈[0,1] vn(x) =x.un(x). On se propose de montrer que (vn)converge uniformément vers 0 sur [0,1].

Pour ce faire, on noteMn le maximum de vn sur[0,1] et l’on reprend les notations du1).

a)Montrer que :

∀n∈N vn α

n+α ≥ 2 (α−1) n+α , puis que :

∀n∈N 2 (α−1)

n+α ≤Mn≤ 2 (α−1)

n .

b)En déduire un équivalent simple de Mn puis conclure.

Problème B

Dans tout le problème, p est un nombre réel strictement supérieur à 1. On poseq= p−1 p . On considère la fonction f déﬁnie sur ]0,+∞[parf(t) =



 lnt

t−1 si t= 1 1 si t= 1

. On pose enﬁn, pour tout x strictement positif,

fp(x) =

px x

f(t) dt.

1) Questions préliminaires

a)Montrer que f est de classe C¹ sur]0,+∞[ et donner son tableau de variations.

b)Pourhﬁxé dans[−1,1[, établir :

∀p∈N^∗ ∀t∈[0, h] 1 1−t =

p k=0

t^k+ t^p+1 1−t. En déduire :

∀h∈[−1,1[ f(1−h) =

∞ n=0

hⁿ n+ 1.

2) Étude des variations de fp

a)Montrer que :

∀p >1 1

p < p−1 plnp <1.

b)Montrer que fp est dérivable sur]0,+∞[et que :

∀x >0 f_p^′(x) =pf(px)−f(x).

c)Calculerf_p^′ 1

p ,f_p^′(1) et montrer que f_p^′ 1

p +f_p^′(1) =p−1.

d)Déterminer une fonction hp, de classeC¹ sur ]0,+∞[, telle que :

∀x∈]0,+∞[\ 1

p,1 f_p^′(x) = hp(x) (px−1) (x−1). Étudier le signe deh^′_p(x); calculer hp 1

p et hp(1).

En déduire le signe de hp(x), puis le sens de variation defp.

(3)

3) Étude de fp aux bornes de son ensemble de déﬁnition a)Montrer que

∀x∈ 0,1

p |fp(x)| ≤ 1 1−px

px x

(−lnt) dt.

En déduire la limite defp en0.

b)Étudier la dérivabilité de fp en 0.

c)Montrer que

∀x >1 (p−1)xlnx

px−1 ≤fp(x)≤ (p−1)xln (px) x−1 . En déduire la limite defp en+∞ainsi que la nature de la branche inﬁnie.

4) Calcul de fp(1/p)

a)À l’aide des questions préliminaires, montrer que : fp(1/p) =

∞ n=1

qⁿ

n² (on rappelle queq = p−1 p ).

b)PourN ∈N, on poseRN =

∞

n=N+1

qⁿ

n². Montrer que : RN ≤ p·q^N+1

(N+ 1)².

En déduire à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de f4 1

4 à 10⁻⁴ près, en expliquant la méthode utilisée.

Donner une fonction Python recevant comme paramètres p etε et renvoyant une valeur approchée defp(1/p) à εprès, en appliquant la méthode précédente.

c)Que vaut la limite de fp 1

p lorsquep tend vers +∞? 5) Calcul de fp(1)

a)Montrer que :

fp(1) =

q 0

f(1−h)· 1 1−hdh.

b)En utilisant le produit de Cauchy de deux séries, en déduire que fp(1) =

∞ n=0

cnqⁿ⁺¹

n+ 1 où cn=

n

k=0

1 k+ 1.

c)PourN ∈N, on poseTN =

∞ n=N+1

cnqⁿ⁺¹

n+ 1 . Montrer que : TN ≤ cN+1

N + 2·q^N⁺² 1−q.

En déduire une valeur approchée de f4(1)à 10⁻⁴ près en expliquant la méthode utilisée.

Donner une fonction Python recevant comme paramètres p etε et renvoyant une valeur approchée defp(1) àεprès, en appliquant la méthode précédente.

(4)

Problème C

On étudie dans ce problème la série de fonctions

n≥1

un déﬁnie par :

∀n∈N^∗ ∀t∈]−1,1[ un(t) = tⁿ 1 +tⁿ.

1) Montrer que la série de fonctions un converge normalement sur [−α, α]pour tout αdans]0,1[.

En déduire que la fonction somme S= ^∞

n=1

un est déﬁnie et continue sur ]−1,1[.

2) On ﬁxe pour cette question un élément tde[0,1[. Pour x réel, la partie entière de xest notée ⌊x⌋.

Pourk entier naturel, on déﬁnit sur [1,+∞[la fonctionfk par :

∀x≥1 fk(x) = (−1)^k

⌊x⌋

n=1

t^(k+1)n.

a)Montrer que, pour xﬁxé dans[1,+∞[, la suite (|fk(x)|)_k∈N est décroissante, de limite nulle.

En déduire que la série de fonctions fk converge uniformément sur [1,+∞[.

b)En remarquant que

S(t) = lim

x→+∞

⌊x⌋

n=1

∞ k=0

(−1)^kt^(k+1)n ,

établir à l’aide du théorème de la double limite : S(t) =

∞ k=0

vk(t) où vk(t) = (−1)^k t^k+1 1−t^k+1. 3) Montrer que la série de fonctions wk déﬁnie par

∀k∈N ∀t∈[0,1] wk(t) = (−1)^k t^k+1

1 +t+t²+· · ·+t^k converge uniformément sur [0,1].

4) Déduire des questions précédentes l’existence et la valeur delim

t→1^<

(1−t)S(t), puis un équivalent deS(t) au voisinage de 1.

Les choses doivent être aussi simples que possible, mais pas plus.

(Albert Einstein)