Sup PCSI2 — Devoir 2005/07
◮R3 est muni du produit scalaire canonique et de l’orientation standard. Ainsi, la base canonique B = (−→
i ,−→ j ,−→
k) est orthonorm´ee et directe.
◮Consid´erons un vecteur −→n =a−→ i +b−→
j +c−→
k unitaire. Notons D la droite engendr´ee par −→n et P le plan orthogonal `a D.
◮Notons p la projection orthogonale sur D ; q la projection orthogonale sur P ; r la transformation qui, `a
−
→v ∈R3, associe−→n ∧ −→v ; etf =p+r.
Q1 Montrez que p(−→v) = (−→v · −→n)−→n pour tout−→v ∈R3.
Q2 D´eterminez les matrices respectives depetqdans la baseB. Q3 Montrez que rest un endomorphisme deR3.
Q4 D´eterminez le noyau et l’image de r.
Q5 D´eterminez la matrice derdans la baseB. Q6 V´erifiez quer◦q=r.
Q7 Comparez les normes des vecteursr(−→v) etq(−→v).
Q8 Les vecteurs r(−→v) et q(−→v) appartiennent tous les deux au plan P. Celui-ci ´etant muni de l’orientation induite par−→n, d´eterminez l’angle de ces vecteurs.
Q9 Montrez que r◦r=−q.
Q10 En d´eduire l’´egalit´e−→n ∧(−→n ∧ −→v) = (−→n · −→v)−→n − −→v pour tout−→v ∈R3. Q11 Montrez quef est un endomorphisme deR3.
Q12 D´eterminez le noyau def. Qu’en d´eduisez-vous ? Q13 D´eterminez la matrice def dans la baseB. Q14 Montrez quef est un endomorphisme orthogonal.
Q15 Calculezf(−→n).
Q16 Pr´ecisez la restriction def `a P ; en d´eduire la nature et les ´el´ements g´eom´etriques def.
◮Notonsd=f◦f.
Q17 Pour−→v ∈R3, explicitezd(−→v) en fonction de−→v et−→n.
Q18 En d´eduire la matrice deddans la baseB. Pr´ecisez la nature et les ´el´ements g´eom´etriques ded.
[Devoir 2005/07] Compos´e le 28 mai 2006
