I Matrices
I.1 Opérations sur les matrices
a Combinaison linéaire Définition « évidente ».
b Produit matriciel avec les coefficients
Définition SiAetBsont respectivement dansMn,p(K) et dansMp,q(K), on peut définir le produitC=ABdansMn,q(K) par la formule (si 1≤i≤net 1≤j≤ q)
ci,j=
p
X
k=1
ai,kbk,j
mais cette formule, bien qu’elle soit à connaître, n’est pas toujours la plus utile.
Il n’est pas du tout ridicule de redessiner la matriceAen bas à gauche et la matrice Ben haut à droite pour effectuer le produitAB. D’une manière générale, il ne faut pas hésiter à dessiner des matrices.
c Produit interprété avec les lignes et les colonnes
Tout ce paragraphe n’est rien qu’une lecture attentive d’un produit de matrices conve- nablement dessiné.
Première remarque : le produitAB, c’est le produit des lignes deApar les colonnes deB. Autrement dit, siΛi=(ai,1ai,2. . .ai,p) est la ligneide la matriceA(1≤i≤n)
etΓj =
b1,j
... bp,j
est la colonne j de la matriceB(1≤j ≤q) alors, pour tout (i,j)∈
1,p × 1,q,
(AB)i,j=ΛiΓj
(avec la convention habituelle : une matrice « scalaire », c’est-à-dire une matrice à un seul coefficient, est identifiée à cet unique coefficient).
Il importe de remarquer que, si (Γ1, . . . ,Γq) est la famille des colonnes deB, alors la famille des colonnes deABest (AΓ1, . . . ,AΓq) (cela se voit très bien en représentant graphiquement le produit de matrices, ce qu’il faut faire !). Autrement dit, « multi- plierBparAà gauche », c’est multiplier parAles colonnes deB.
Bref, le schéma
A×
... ... ... Γ1 ... Γ2 ... · · · ... Γn
... ... ...
=
... ... ... AΓ1 ... AΓ2 ... · · · ... AΓn
... ... ...
(où lesΓksont des colonnes) est peut-être la lecture la plus importante du produit matriciel.
I.2 Produit par blocs
Proposition Soit (A,A0)∈¡
Mp(K)¢2
, (B,B0)∈¡
Mp,q(K)¢2
, (C,C0)∈¡
Mq,p(K)¢2
, (D,D0)∈¡
Mq(K)¢2
. Alors
A ... B
· · · · ...
C ... D ...
×
A0 ... B0
· · · · ...
C0 ... D0 ...
=
A A0+BC0 ... AB0+B D0
· · · · ...
C A0+DC0 ... C B0+DD0 ...
Très, très utile. Souvent utilisé avecp=1ouq=1.
On peut aussi considérer que
A×
... ... ... Γ1 ... Γ2 ... · · · ... Γn
... ... ...
=
... ... ... AΓ1 ... AΓ2 ... · · · ... AΓn
... ... ...
(où lesΓksont des colonnes) est une sorte de produit par blocs.
I.3 Colonnes, vecteurs colonnes
Il n’est pas question ici de couper les cheveux en quatre, mais d’examiner une bonne fois pour toutes une petite difficulté de vocabulaire.
SiA=(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p
, alors laj-ième colonne deAest
Γj=
a1,j
... an,j
et c’est un élément deMn,1(K), mais lej-ième vecteur colonne deAest γj=¡
a1,j, . . . ,an,j¢
et c’est un élément deKn. Quand on a un peu l’habitude, on identifie souvent ces deux objets, mais il faut aussi savoir ne pas les confondre.
Pour les lignes, c’est pire, car ce qui distingue visuellement une matrice ligne du vec- teur ligne correspondant, c’est seulement la présence (dans le vecteur) ou l’absence (dans la matrice) de virgules.
I.4 Base canonique
a La base canonique
CommeKn etK[X],Mn,p(K) a une base canonique : la famille¡ Er,s¢
(r,s)∈1,n×1,p
où, pour tout couple (i,j)∈ 1,n × 1,p,
¡Er,s¢
i,j=δi,rδs,j
Autrement dit, siA=(ai,j)1≤i≤n 1≤j≤p
,
A=
n
X
i=1
à p X
j=1
ai,jEi,j
!
=
p
X
j=1
Ãn X
i=1
ai,jEi,j
!
= X
(i,j)∈1,n×1,p
ai,jEi,j
ce qui justifie l’appellation de « base canonique ».
b Table de multiplication
Il faut savoir multiplier ces matrices élémentaires : si la matriceEr,sest àplignes et qcolonnes, si la matriceEt,uest àqlignes etrcolonnes, alors
Er,sEt,u=δs,tEr,u (résultat au programme, donc utilisable).
I.5 Résumé des structures
Espace vectoriel
(Mn,p(K),+, .) est unK-espace vectoriel.
Anneau
(Mn(K),+,×) est un anneau non intègre (l’élément neutre pour+est (0), l’élément neutre pour×estIn).
D’abord, il n’est pas commutatif. Donc les formules
(A+B)m=
m
X
k=0
Ãn k
! AkBn−k
Am−Bm=(A−B) Ãm−1
X
k=0
AkBm−1−k
!
ne sont valables que pour deux matrices qui commutent (AB=B A).
Il est certes rare que deux matrices commutent, mais si l’une des deux estIn, ça marche. La formule
In−Am=(In−A)(In+A+ · · · +Am−1) est assez souvent utilisée.
Il y a beaucoup de « diviseurs de 0 » dansMn(K) (deAB=(0) on ne déduit surtout pasA=(0) ouB=(0) !), ce qui rend par exemple la résolution des équations ma- tricielles délicate. Même l’équationA2=(0) n’est pas simple à résoudre, mais son interprétation est très intéressante ! On sait bien aussi queA2=An’équivaut pas du tout àA=InouA=(0).
Groupe Le groupe¡
Mn(K)¢∗
des éléments deMn(K) inversibles pour×est notéGLn(K).
Algèbre
(Mn(K),+,×, .) est une algèbre non commutative.
II Matrices et applications linéaires
II.1 Matrice d’une application linéaire relativement à des bases
a Définition
On considère deux espaces vectorielsEetFde dimensions finiespetnrespective- ment, munis des basesB=(ej)1≤j≤petC =(fi)1≤i≤n. A tout élémentudeL(E,F) on associe la matrice MatB,C(u)=(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p
définie par pour toutj, u(ej)=
n
X
i=1
ai,jfi
Insistons :ai,j est la composante surfi deu(ej).
A connaître parfaitement !
b Isomorphisme entreL(E,F)etMn,p(K)
Définition SiBest une base fixée deEetC est une base fixée deF, φ : L(E,F) −→ Mn,p(K)
u 7−→ MatB,C(u) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Ce qui signifie queφest linéaire : Si (u,v) sont dansL(E,F) etλdansK,
MatB,C(λu+v)=λMatB,C(u)+MatB,C(v)
et queφest bijective : les basesBetC étant fixées, si A∈Mn,p(K) il existe une unique application linéaireutelle que MatB,C(u)=A. Autrement dit, une applica- tion linéaire en dimension finie est caractérisée par sa matrice.
c Dimension Proposition dim¡
Mn,p(K)¢
=np
Démonstration Il n’y a qu’à compter les éléments de la base canonique.
Corollaire
dim (L(E,F))=dimE ×dimF
Démonstration On fixe une base deEet une base deF, et on utilise l’isomor- phisme du paragraphe précédent : deux espaces isomorphes sont de même dimension.
d Matrice d’une composée
Le produit matriciel s’accorde bien avec la composition des applications linéaires.
Proposition si E,F,G sont trois espaces vectoriels, si B,C,D en sont trois bases, siu∈L(E,F) etv∈L(F,G),
BE
−−−−−−−−→u F C
−−−−−−−−→v G D alors
MatC,D(v)MatB,C(u)=MatB,D(v◦u) e Cas des endomorphismes
Dans le cas oùE =F (cas de très loin le plus fréquent), on prend naturellement B=C. Alors
φ: L(E) −→ Mn(K) u 7−→ MatB(u) vérifie les propriétés suivantes :
φest bijective.
φ(λu+v)=λφ(u)+φ(v) φ(v◦u)=φ(v)φ(u) φ(I dE)=In
On dit queφest un isomorphisme d’algèbres (unitaires non commutatives non in- tègres) de¡
L(E),+, .,◦¢ sur¡
Mn(K),+, .,×¢ .
Enfin,φinduit un isomorphisme de groupes entre (GL(E),◦) et (GLn(K),×) (groupes non commutatifs).
f Matrice d’un vecteur dans une base
SiB=(e1, . . . ,ep) est une base deE, six∈E, et si la famille des composantes dex dans la baseBest (x1, . . . ,xp), on définit la matrice colonne des composantes dex dans la baseB:
X=
x1
x2 ... xp
On la note parfois MatB(x). Autrement dit,
h
MatB(x)=
x1 x2 ... xp
i
⇐⇒h
x=x1e1+ · · · +xpep=
p
X
i=1
xiei
i
g Calcul matriciel de l’image d’un vecteur
Reprenons deuxK-espaces vectoriels de dimension finie,EetF. Et fixonsB=(e1, . . . ,ep) une base deE,C=(f1, . . . ,fn) une base deF.
Soit enfinu∈L(E,F).
Soitx=
p
X
j=1
xjej∈E. On noteX=MatB(x),Y=MatC(u(x)),A=MatB,C(u). Alors Y =M X
On a donc les correspondances suivantes :
Langage vectoriel Traduction matricielle
x, élément deE X=MatB(x), matrice colonne des composantes dexdans la baseB
u, application linéaire deEdansF M=MatB,C(u), matrice deurelative aux basesBetC
y=u(x), image dexpar l’applicationu Y =MatC(y)=M X
Les choses ne sont pas à sens unique : on traduit aussi bien en langage vectoriel des problèmes matriciels que l’inverse.
II.2 Canonicité ; image, noyau d’une matrice
a Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Si on veut étudier matriciellement une application linéaire en dimension finie, on choisit une base au départ et une base à l’arrivée.
Inversement, siA∈Mn,p(K), elle est la matrice d’une application linéaire. De beau- coup d’applications linéaires, même.
Mais l’une est plus naturelle que les autres :
Si on veut écrireA=MatB,C(u), il faut queBaitpvecteurs et queC aitnvecteurs.
Définition MunissonsE=KpetF=Kn de leurs bases canoniques, notées res- pectivementBetC. L’uniqueu∈L(Kp,Kn) telle queA=MatB,C(u) est l’ap- plication linéaire canoniquement associée àA.
Cas d’une matrice carrée Souvent, Aest une matrice carrée : A∈Mn(K). No- tonsBla base canonique deKn; l’uniqueu∈L(Kn) tel queA=MatB(u) est l’endomorphisme canoniquement associée àA.
Par exemple, si
A=
Ã1 −1 2
1 3 0
!
l’application linéaire canoniquement associée àAest l’applicationu∈L(K3,K2) dé- finie par
u(x1,x2,x3)=( , )
b Image et noyau d’une matrice
Première définition Soit A∈Mn,p(K) une matrice,u∈L(Kp,Kn) canonique- ment associé. On appelle noyau et image deAle noyau et l’image deu.
c Noyau : deuxième définition
Précisons un peu ce qui précède. Notons donc A=(ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p ∈Mn,p(K)
L’application linéaire canoniquement associée est notéeu∈L(Kp,Kn).
NotonsB=(²1, . . . ,²p) la base canonique deKp. Soitx=(x1, . . . ,xp)∈Kp. On a donc
X=MatB(x)=
x1 x2 ... xp
Alors
x∈kerA⇐⇒x∈keru
⇐⇒u(x)=0Kq
⇐⇒AX=(0)
(AXest la matrice colonne des composantes deu(x) dans la base canonique deKn).
Définition SoitA∈Mn,p(K) une matrice ; on définit souvent Ker(A)={X∈Mn,1(K) ;AX=(0)}
Pourquoi est-ce un abus ? parce que le calcul qui vient d’être fait montre que cela revient à confondre un vecteur deKnet la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique. Par exemple, soit
A=
Ã1 2
−1 −2
!
L’application linéaire canoniquement associée est ici un endomorphisme : Aest carrée. On peut l’expliciter. Notons-lau :u ∈L(R2) (en supposant K=R). Et, si x=(x1,x2),u(x)=(x1+2x2,−x1−2x2). Donc
(x1,x2)∈Ker(A)⇐⇒ x1+2x2=0 On devrait donc définir
Ker(A)={(x1,x2)∈R2;x1+2x2=0}=Vect ((2,−1))
Mais il est quand même plus simple de ne pas s’embêter avecu, et de directement résoudreAX=(0) :
Ã1 2
−1 −2
! Ãx1
x2
!
= Ã0
0
!
⇐⇒x1+2x2=0 et de définir
Ker(A)= (Ãx1
x2
!
∈M2,1(R) ;x1+2x2=0 )
=Vect ÃÃ2
−1
!!
Quelle définition doit-on adopter ? le programme n’est pas très clair là-dessus, et ça
n’a pas d’importance, car confondre (x1, . . . ,xn) et
x1
... xn
est une pratique courante.
d Image : deuxième définition
De même, SI A∈Mn,p(K), au lieu de définir l’image de Acomme l’image deu ∈ L(Kp,Kn) qui lui est canoniquement associé, on définit directement
Im(A)={AX;X∈Mn,1(K)}
Cela revient une fois de plus à confondre un vecteur avec la colonne de ses compo- santes dans la base canonique.
Proposition Soit A∈Mn,p(K), (c1, . . . ,cp) la famille de ses vecteurs colonnes.
Alors Im(A)=Vect(c1, . . . ,cp).
Démonstration 1 Soitu ∈L(Kp,Kn) canoniquement associé à A. Si (²1, . . . ,²p) est la base canonique deKp, alors¡
u(²1), . . . ,u(²p)¢
est génératrice deℑ(u).
Or lesu(²k) sont lesck.
Démonstration 2 On triche un peu, et on identifie les vecteurs colonnesck(qui sont des éléments deKn) et les colonnesCk(en détaillant, on identifieck= (a1,k, . . . ,an,k) etCk=
a1,k
... an,k
). Or, siX=
x1
... xp
, on calcule :
AX=x1C1+ · · · +xpCp Et donc {AX ;X∈Mn,1(K)}=Vect(c1, . . . ,cp).
En reprenant la matriceA=
Ã1 2
−1 −2
!
on obtient par exemple
ImA=Vect ÃÃ1
−1
!!
II.3 Remarque fondamentale sur l’inversibilité des matrices
SoitA∈Mn(K). A priori, la multiplication des matrices n’étant pas commutative, [A∈GLn(K)] ⇐⇒ [AB=B A=In]
Un résultat essentiel sur les matrices (dû au fait qu’en dimension finie, un endomor- phisme est surjectif si et seulement si il est injectif ) est que :
Proposition S’il existeB∈Mn(K) telle queAB=In, alorsB A=In, donc A∈GLn(K) etA−1=B.
S’il existeB∈Mn(K) telle queB A=In, alorsAB=In, donc A∈GLn(K) etA−1=B.
III Matrices remarquables
III.1 Matrices diagonales, triangulaires
Définitions SoitA∈Mn(K).
[A∈Dn(K)] ⇐⇒ £
(i6=j)⇒ai,j=0¤
£A∈Tn+(K)¤
⇐⇒ £
(i>j)⇒ai,j=0¤
£A∈Tn−(K)¤
⇐⇒ £
(i<j)⇒ai,j=0¤
Structure Dn(K), Tn+(K) etTn−(K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn(K), stables par×et contenantIn, ce qui en fait aussi des sous-anneaux, on ré- sume tout cela en disant que ce sont des sous-algèbres deMn(K).
Dimension dim (Dn(K))= dim¡
Tn+(K)¢
= dim¡
Tn+(K)¢
=
ExerciceSoitA∈Tn+(K)∩GLn(K). Montrer que M7−→AM
définit un endomorphisme injectif deTn+(K). En déduire queA−1∈Tn+(K).
Cet exercice n’utilise que la structure d’algèbre, et le résultat reste donc valable si on remplaceTn+(K) parTn−(K),Dn(K) ou toute autre sous-algèbre deMn(K).
III.2 Transposition ; matrices symétriques, antisymétriques
a Définition
La transposée d’une matrice est la matrice dont la famille des vecteurs lignes est celle des vecteurs colonnes de la matrice de départ (et vice-versa).
SiA=¡ ai,j¢
1≤i≤n
1≤j≤p ∈Mn,p(K),AT=tAest définie par AT=¡
bi,j¢
1≤i≤p
1≤j≤n ∈Mp,n(K) où∀(i,j) bi,j=aj,i Il ne faut pas écrire
AT=¡ aj,i¢
1≤i≤p 1≤j≤n
(risque de confusion entre l’indice de ligne et l’indice de colonne).
b Propriétés
Facilement, on montre les propriétés
t(tA)=A
t(λA+µB)=λtA+µtB que l’on peut résumer en
Proposition La transposition est un isomorphisme deMp,q(K) surMq,p(K), d’iso- morphisme réciproque la transposition. . .mais pas la même (du moins sip6=
q) !
Proposition La transposition est un automorphisme involutif deMn(K).
Remarquons que la transposition est aussi un isomorphisme deTn+(K) surTn−(K).
Transposée d’un produit
t(AB)=tBtA.
L’inverse de la tansposée. . .
. . .est la transposée de l’inverse. Plus exactement, SiA∈Mn(K), (A∈GLn(K))⇐⇒ ¡
AT ∈GLn(K)¢ et, le cas échéant,
t(A−1)=(tA)−1
c Matrices symétriques et antisymétriques
Une matriceAest ditesymétriquelorsquetA=A,antisymétriquelorsque
tA= −A. Les sous-espaces vectorielsSn(K) etAn(K) (respectivement des matrices symétriques et antisymétriques) sont supplémentaires dansMn(K). Ils sont de di- mensions respectives
et on s’en occupera, dans le casK=R, lors du chapitre sur les espaces euclidiens.
Exercice :On a vu, dans Al1, que siE est unK-espace vectoriel, siu∈L(E) vérifie u2=IdE, alorsuest une symétrie vectorielle, par rapport àF={x∈E;u(x)= } et parallèlement àG={x∈E;u(x)= }. Et en particulier,FetGsont supplémen- taires.
En déduire une démonstration élégante (mais superflue) de Sn(K)⊕An(K)=Mn(K)
IV Matrices de passage, changements de base
IV.1 Matrice d’une famille dans une base
a Définition
Soit (x1, . . . ,xp) une famille de vecteurs d’un espace de dimension finieE, lequel est muni d’une baseB=(e1, . . . ,en). On définit la matrice de la famille (x1, . . . ,xp) dans la baseB: MatB(x1, . . . ,xp) est la matrice dont la colonnejest constituée des composantes dexj dans la baseB. Plus clairement, siA=MatB(x1, . . . ,xp), alors, pour toutj∈{1, . . . ,p},
xj=
n
X
i=1
ai,jei
b Lien avec la matrice d’une application linéaire
La matrice d’une application linéaire relative à deux bases est la matrice dans la base d’arrivée de la famille des images des vecteurs de la base de départ : si
u∈L(E,F), siB=(e1, . . . ,ep) est une base deEetC=(f1, . . . ,fn) est une base deF, alors
MatB,C(u)=Mat(f1,...,fn)¡
u(e1), . . . ,u(ep)¢
IV.2 Matrice de passage
SiBetB0sont deux bases deE,
PBB0=MatB(B0)
est appelée matrice de passage de la baseBà la baseB0(remarquons quePBB0 est une notation officielle du programme, mais pour l’instant pas du tout utilisée dans les énoncés de concours ! de toute manière, on a toujours écrit « on notePla matrice de passage de . . . à . . . ») .
Pour certaines propriétés, il peut parfois être utile de constater que MatB(B0)=MatB0,B(I dE)
(on considère la matrice de l’endomorphismeI dEnon pas relativement à une base unique, comme c’est l’usage, mais en prenant une base différente pourEconsidéré comme espace de départ et pourE considéré comme espace d’arrivée). Comme c’est à peu près le seul contexte dans lequel on considère un endomorphisme avec une base différente au départ et à l’arrivée, c’est un peu artificiel et déroutant. Et ce n’est pas vraiment important.
IV.3 Formules de changement de base
a Anciennes composantes à l’aide des nouvelles
On considère deux basesB etB0d’un espace vectorielE. Soitx∈E, on noteX = MatB(x),X0=MatB0(x). Alors
X=PBB0X0 ou encore, de manière plus explicite :
MatB(x)=PBB0MatB0(x)=MatB(B0)MatB0(x) b Relations entre matrices de passage
PBB00=PBB0PBB000 Donc toute matrice de passage est inversible, et
PBB0=
³ PBB0´−1
c Changement de bases pour une application linéaire
Formule Soituest une application linéaire définie sur unK-espace vectoriel de dimension finieE muni de deux basesBetB0à valeurs dans unK-espace vectoriel de dimension finieFmuni de deux basesC etC0:
BE,B0
−−−−−−−−→u F C,C0
On noteP=PBB0,Q=PCC0, en notantM=MatB,C(u) etM0=MatB0,C0(u), on a :
M0=Q−1M P
d Changement de bases pour un endomorphisme
Dans le cas particulier (mais c’est celui qu’on utilise tout le temps) oùuest un en- domorphisme, c’est-à-direE=F,B=C,B0=C0, doncP=Q, avec
M=MB(u) etM0=MB0(u), on obtient :
M0=P−1M P que l’on utilisera en général sous la forme
M=P M0P−1
V Opérations élémentaires sur lignes et colonnes
V.1 Définition des opérations élémentaires
Les opérations élémentaires sur les lignes sont :
•l’addition à une ligne du produit d’une autre par un scalaire (Li ←Li+λLj avec i6=j)
•la permutation de deux lignes (Li↔Lj)
•la multiplication d’une ligne par un scalaire non nul (Li↔λLi, avecλ6=0).
On définit des opérations analogues sur les colonnes. On peut aussi remarquer qu’opé- rer sur les colonnes d’une matrice, c’est opérer sur les lignes de sa transposée (et réciproquement).
V.2 Interprétation en termes de produits matriciels
SiEr,sest une matrice élémentaire carrée (autrement dit, un élément de la base ca- nonique deMn(K), on définit :
— Sir6=s,Tr,s(λ)=In+λEr,s.
— Siλ6=0,Dr(λ)=In+(λ−1)Er,r.
— Sir6=s,Pr,s=I−Er,r−Es,s+Er,s+Es,r.
Les opérations élémentaires sur les lignes (resp. les colonnes) d’une matrice s’ob- tiennent en multipliant à gauche (resp. à droite) par une matrice d’un des types pré- cédents.
V.3 Utilisation
a Très utile
•Les opérations élémentaires permettent d’étudier le rang d’une matrice, car elles ne le modifient pas (voir plus loin).
•Les opérations élémentaires servent dans le calcul des déterminants : voir chapitre sur les déterminants.
b Utile
Les opérations élémentaires sont utilisées dans la résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss.
c Intéressant mais anecdotique
Proposition Les opérations élémentaires sur les colonnes ne changent pas l’image d’une matrice.
Ce résultat, au programme de mpsi, ne sert jamais, mais sa démonstration est inté- ressante ! elle repose en effet sur la définition de l’image d’une matrice à partir de l’application linéaire canoniquement associée, sur l’interprétation des opérations élémentaires sur les colonnes comme multiplication à droite par une matrice inver- sible, et enfin sur le résultat suivant :
Sivest un automorphisme, siuest une application linéaire Im(u◦v)=Im(u)
Proposition Les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pas. . . .
d Intéressant, mais. . .
. . .on ne le demande jamais aux concours :
Les opérations élémentaires permettent d’étudier l’inversibilité d’une matrice et de calculer son inverse.
VI Rang
VI.1 Définitions
a Rang d’une application linéaire
Le rang deuest, quand elle est finie, la dimension de Im(u).
b Théorème du rang
Siu∈L(E,F), si dimE< +∞, alorsuest de rang fini, et rgu=dimE −dim (Keru) c Rang d’une famille de vecteurs
On appelle rang d’une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs (si celle-ci est finie) :
rg ((xi)i∈I)=dim (Vect ((xi)i∈I))
d Lien
Soitu∈L(E,F),Eétant un espace de dimension finie. Si (e1, . . . ,en) est une base de E, alors (u(e1), . . . ,u(en)) engendre Im(u), donc
rgu=rg (u(e1), . . . ,u(en)) e Rang d’une matrice
On définit le rang d’une matrice comme celui de la famille de ses vecteurs colonnes, donc celui de l’application linéaire qui lui est canoniquement associée (en effet, l’image d’une matrice est engendrée par la famille de ses vecteurs colonnes).
Définition SoitA∈Mn,p(K), soit (c1, . . . ,cp) la famille de ses vecteurs colonnes (ce sont des éléments deKn, ou deMn,1(K), si on veut). Alors on définit
rg(A)=rg(c1, . . . ,cp)
Pourquoi les colonnes et pas les lignes ? en fait, c’est la même chose, mais ce n’est pas tout-à-fait évident, donc patience.
f Lien
Proposition Le rang d’une application linéaire est celui de sa matrice (relative à n’importe quel choix de bases).
VI.2 Stabilité
Proposition SiP∈GLp(K),A∈Mp,q(K) etQ∈GLq(K), alors rg(P AQ)=rg(A)
VI.3 Caractérisation
Proposition Une matrice A∈Mn,p(K) est de rangr si et seulement si il existe deux matrices inversibles (et donc carrées)UetV telles que
A=U J(n,p)r V
oùJr(n,p)est la matrice canonique de rangrànlignes etpcolonnes, souvent notée simplementJr quand le format est fixé par le contexte :
Jr=(αi,j)1≤i≤n 1≤j≤p
oùαi,j=1 sii=j≤r, 0 sinon.
(sir=0,J0est la matrice nulle). Cette matrice gagne à être écrite par blocs, surtout si elle est carrée.
Utilisation Lorsque dans un énoncé le rang de la matrice est sa propriété essen- tielle, il faut penser à ce résultat.
Remarque Nécessairement, ci-dessus,U∈GLn(K) etV∈GLp(K). Carrées et in- versibles,U etV doivent en effet être de formats convenables pour que le produitU JrVait un sens.
Corollaire Une matrice et sa transposée ont même rang, donc la famille des vec- teurs lignes d’une matrice a même rang que celle des vecteurs colonnes.
La proposition peut se démontrer par deux moyens très différents et tous deux inté- ressants. On n’interrogera guère aux concours sur ces preuves, mais les comprendre et les assimiler n’est pas du temps perdu.
VI.4 Rang et matrices carrées extraites
Un résultat souvent assez mal connu, mais il est au programme et c’est, avec la conti- nuité du déterminant, ce qui permet de dire que l’ensemble des matrices de rang
≥mest ouvert.
Proposition : Le rang d’une matriceAest la dimension maximale d’une matrice carrée extraite deA.
Définition : On appelle matrice extraite deA=¡ ai,j¢
1≤i≤n
1≤j≤p toute matrice¡ ai,j¢
i∈I,j∈J
oùI⊂ 1,netJ⊂ 1,p. Cette matrice extraite est carrée lorsque|I| = |J|(at- tention : on n’impose pas du toutI=J).
Proposition : rg(A)=rsi et seulement si : il existe une matrice¡ ai,j¢
(i,j)∈I×Jin- versible extraite deAavec|I| = |J| =ret il n’existe aucune matrice¡
ai,j¢
i∈I,j∈J
inversible extraite deAavec|I| = |J| >r.
VII Matrices équivalentes
Cette notion est principalement introduite pour semer la confusion avec la notion de matrices semblables. On ne s’en sert jamais, de toute façon.
Définition On dira que deux matricesAetBdeMn,p(K) sont équivalentes lors- qu’il existe deux matrices carrées inversiblesUetV telles que
B=U AV (U∈GLn(K) etV∈GLp(K)).
Proposition La relation « est équivalente à » ainsi définie est une relation d’équi- valence surMn,p(K).
Caractérisation Deux matrices deMn,p(K) sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.
Ce résultat permet de compter les classes d’équivalence pour la relation d’équiva- lence des matrices surMn,p(K) : il y en a
VIII Trace
Définition La trace d’une matrice carrée est la somme de ses coefficients diago- naux :
trA=
n
X
i=1
ai,i
Proposition L’application trace est une forme linéaire surMn(R) : tr(λA+B)=λtrA+trB
Proposition SoitA,Bdeux matrices telles queABetB Asoient carrées (i.e.A∈ Mn,p(K),B∈Mp,n(K) ; alors tr(AB)=tr(B A).
Définition Deux matricesAetBdeMn(K) (carrées, donc) sont dites semblables lorsqu’il existeP∈GLnKtelle que
B=P−1AP
AetB sont donc semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases.
Proposition Deux matrices semblables ont même trace.
Définition Soituun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie E. La trace de la matrice deudans une base deEne dépend pas du choix de cette base. On l’appelle trace de l’endomorphismeu.
Proposition L’applicationu7→truest une forme linéaire surL(E), vérifiant, pour tousuetvdeE: tr(u◦v)=tr(v◦u).
Proposition La trace d’un projecteur est égale à son rang.
Ce résultat un peu anecdotique est indispensable pour résoudre de petits exercices d’oral.
IX Survol des système d’équations linéaires
IX.1 Ecritures matricielle et vectorielle
Un système linéaire denéquations àpinconnues s’écrit, sous forme matricielle AX=B
oùAest une matrice ànlignes etpcolonnes ; il s’interprète donc comme l’équation linéaire
u(x)=b
oùuest l’application linéaire canoniquement associée àA(u∈L(Kp,Kn)) etbest l’élément deKn dont la matrice colonne des composantes dans la base canonique deKnestB(l’inconnuexétant dansKp).
IX.2 Système homogène associé
Le système homogène associé est le système AX =0, qui s’écrit vectoriellement u(x)=0. L’ensemble de ses solutions est un s.e.v de dimensionp−r g(A), oùr g(A)= r g(u) est par définition le rang du système.
IX.3 Structure de l’ensemble des solutions
S’il y a au moins une solution, le système est dit compatible ; l’espace des solutions est un sous-espace affine de direction le s.e.v. des solutions du système homogène.
L’ensemble des solutions s’obtient donc en ajoutant à une solution quelconque du système l’ensemble des solutions du système homogène.
En effet, siX0est une solution (pour écrire les choses matriciellement) : AX=B⇐⇒AX=AX0
⇐⇒A(X−X0)=(0)
⇐⇒X−X0∈SH
oùSHest l’ensemble des solutions deH, et donc est un espace vectoriel.
Il peut n’y avoir aucune solution : le système est dit incompatible.
Sip=n=r g(A), le système est dit Cramer ; il y a une solution unique, X=A−1B. Elle se détermine par exemple en utilisant un pivot de Gauss.
Table des matières
I Matrices 1
I.1 Opérations sur les matrices . . . 1
a Combinaison linéaire . . . 1
b Produit matriciel avec les coefficients . . . 1
c Produit interprété avec les lignes et les colonnes . . . 1
I.2 Produit par blocs . . . 2
I.3 Colonnes, vecteurs colonnes . . . 3
I.4 Base canonique . . . 3
a La base canonique . . . 3
b Table de multiplication . . . 3
I.5 Résumé des structures . . . 4
II Matrices et applications linéaires 5 II.1 Matrice d’une application linéaire relativement à des bases . . . 5
a Définition . . . 5
b Isomorphisme entreL(E,F) etMn,p(K) . . . 5
c Dimension . . . 5
d Matrice d’une composée . . . 6
e Cas des endomorphismes . . . 6
f Matrice d’un vecteur dans une base . . . 6
g Calcul matriciel de l’image d’un vecteur . . . 7
II.2 Canonicité ; image, noyau d’une matrice . . . 7
a Application linéaire canoniquement associée à une matrice . . 7
b Image et noyau d’une matrice . . . 8
c Noyau : deuxième définition . . . 8
d Image : deuxième définition . . . 9
II.3 Remarque fondamentale sur l’inversibilité des matrices . . . 10
III Matrices remarquables 10 III.1 Matrices diagonales, triangulaires . . . 10
III.2 Transposition ; matrices symétriques, antisymétriques . . . 10
a Définition . . . 10
b Propriétés . . . 11
c Matrices symétriques et antisymétriques . . . 11
IV Matrices de passage, changements de base 12 IV.1 Matrice d’une famille dans une base . . . 12
a Définition . . . 12
b Lien avec la matrice d’une application linéaire . . . 12
IV.2 Matrice de passage . . . 12
IV.3 Formules de changement de base . . . 13
a Anciennes composantes à l’aide des nouvelles . . . 13
b Relations entre matrices de passage . . . 13
c Changement de bases pour une application linéaire . . . 13
d Changement de bases pour un endomorphisme . . . 13
V Opérations élémentaires sur lignes et colonnes 14 V.1 Définition des opérations élémentaires . . . 14
V.2 Interprétation en termes de produits matriciels . . . 14
V.3 Utilisation . . . 14
a Très utile . . . 14
b Utile . . . 14
c Intéressant mais anecdotique . . . 14
d Intéressant, mais. . . 15
VI Rang 15 VI.1 Définitions . . . 15
a Rang d’une application linéaire . . . 15
b Théorème du rang . . . 15
c Rang d’une famille de vecteurs . . . 15
d Lien . . . 16
e Rang d’une matrice . . . 16
f Lien . . . 16
VI.2 Stabilité . . . 16
VI.3 Caractérisation . . . 16
VI.4 Rang et matrices carrées extraites . . . 17
VIIMatrices équivalentes 17 VIIITrace 18 IX Survol des système d’équations linéaires 18 IX.1 Ecritures matricielle et vectorielle . . . 18
IX.2 Système homogène associé . . . 19
IX.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . 19
