Contrôle de Mathématiques approfondies
La rédaction et la justication des calculs constituent un point essentiel de l'évaluation des copies.
Exercice 1. 7 points. Déterminer les matrices qui sont diagonalisables parmi les suivantes (on justiera la réponse) :
A=
2 0 −3 6 −1 −6
0 0 1
, B=
4 −3 −1 4 −3 −2
−1 1 2
.
Lorsque cela est possible, diagonaliser la matrice.
Exercice 2. 1 point. SoitAune matrice2×2exprimée dans la base canonique. Supposons queAa pour valeurs propres1et 2(ordre d'apparition dans la matrice diagonale). Sachant que la matrice de passage de la base canonique à une base de diagonalisation estP =
1 1
−1 1
, déterminerA.
A traiter : deux exercices au choix parmi3.,4. et5.
Exercice 3. 6 points. Une réaction chimique produit au cours du temps, deux composés A et B, au rythme suivant : entre l'instantnet l'instantn+ 1, la quantité deAfabriquée est égale à celle présente au tempsn, tandis que la quantité deB fabriquée est égale à la moitié de la somme des quantités deA et de B présentes au tempsn. On noteraan la quantité deA,bn la quantité deB au tempsn.
a. Exprimer le système qui régit les relations des composésAetBentre le tempsn+ 1et le tempsn. b. Le précédent système s'écrit aussiXn+1=M Xn avecXn =
an bn
. En déduire la matriceM et la diagonaliser.
c. Sachant qu'à l'instant initialn= 0,a0= 10,b0= 10, calculer la quantité deA et B à l'instant n (on donnera le résultat en fonction den).
Exercice 4. 6 points. Pour étudier l'évolution de la croissance de la population de lapins, on ne s'intéresse qu'aux femelles. On dispose de données statistiques qui nous permettent d'établir un modèle d'évolution.
On suppose que le cycle de vie d'un lapin est de deux ans. On sépare les lapines en deux catégories : 1. les jeunes lapines, dont l'âge varie de0 à1an, donnent naissance à2 femelles par an
2. les lapines adultes, dont l'âge varie de1 an à2ans, donnent naissance à6femelles par an
De plus on sait que 50% des jeunes lapines n'atteignent pas l'âge adulte. On notera an le nombre de lapines adultes,jn le nombre de jeunes lapines en l'annéen.
a. Exprimer le système qui régit les relations de jn+1 et an+1 en fonction dejn et an. b. Le précédent système s'écrit aussiXn+1=M Xn avecXn =
jn
an
. En déduire la matriceM et la diagonaliser.
c. Sachant qu'à l'instant initial n = 0, la population d'un parc est composée de 2 jeunes lapines et d'1 lapine adulte, calcul le nombre estimé de lapines (jeunes et adultes) à l'annéen(on donnera le résultat en fonction den).
d. Donner le nombre exact de lapines (jeunes et adultes) dans l'annéen= 5. Aide :35= 243,36= 729. Exercice 5. 6 points. Résoudre le système diérentiel suivant :
x01 = −4x1+x2+x3
x02 = −6x1+ 2x2+ 2x3
x03 = −x2−x3
avec les conditions initialesx1(0) =x2(0) =x3(0) = 1.
