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Résumé de cours sur les systèmes linéaires
1 Deux et trois inconnues, aspect géométrique
1. On considère le système linéaire (S) de deux équations à deux inconnues x ety (les couples (a, b) et (c, d) sont différents de (0,0))
(S)
( ax+by =u cx+dy=v
Dans le plan, l’équation ax+by = u est l’équation d’une droite ayant pour vecteur normal −→n de coordonnées (a, b). Ainsi résoudre (S) revient à chercher l’intersection de deux droites du plan. Avec ce point de vue, l’ensemble des solutions est soit vide (deux droites non sécantes), soit réduit à un point (droites non parallèles), soit une droite (les deux droites sont confondues). Le cas le plus courant (on parle de cas «générique») est celui où les droites sont sécantes. Cela se produit lorsque les vecteurs normaux des deux droites (a, b) et (c, d) ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire lorsque le déterminant
a c b d
=ad−bc6= 0 est non nul.
2. Dans l’espace, l’équationax+by+cz=u est l’équation d’un plan ayant pour vecteur normal−→n de coordonnées (a, b, c)6= (0,0,0). Ainsi résoudre un système linéaire à 3 inconnues revient à chercher l’intersection de plans. Par exemple, le système suivant
(S)
( x + y + z = 4
2x − y + z = 1
correspond à l’intersection de deux plans sécants car leurs vecteurs normaux respectifs −→n1(1,1,1) et
−
→n2(2,−1,1) sont non colinéaires. C’est donc une droite de R3 dont on obtient l’équation paramétrée en résolvant le système (on soustrait deux fois la ligne 1 à la ligne 2) :
(S) ⇐⇒
L2←L2−2L1
( x+y+z = 4
−3y−z=−7 ⇐⇒
( x= 4−y−z
z =−3y+ 3 ⇐⇒
( x= 2y−3
z =−3y+ 7 ⇐⇒
x= 2t−3 y=t
z =−3t+ 7 On obtient ainsi la droite de R3 dirigée par le vecteur −→u de coordonnées (2,1,−3) et passant par le point M de coordonnées (−3,0,7).
2 Méthode de résolution
2.1 Matrice associée à un système linéaire
Un système linéaire den équations à p inconnues peut s’écrire matriciellement sous la formeAX =B où X est la colonne des inconnues (x1, . . . , xp), A une matrice à n lignes et p colonnes appelée matrice du système et B la colonne du second membre (b1, . . . , bn). Lorsque B = 0, on dit que le système est homogène.
Exemple :
( x + y + z = 4
2x − y + z = 1 A= 1 1 1
2 −1 1
!
, X =
x y z
et B = 4 1
!
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 2 Un système linéaire qui possède autant de lignes que d’équations est dit carré(sa matrice associée est carrée).
2.2 Opérations élémentaires
Soit i et j deux entiers distincts de J1, nK et λ ∈ R. On appelle opération élémentaire sur les lignes d’un système l’une des trois opérations suivantes :
• permuter les lignes i etj, codée par Li ↔Lj
• multiplier la lignei par un scalaire λ non nul, codée par Li ←λLi
• ajouter à la ligne i un multiple de la ligne j, codée par Li ←Li+λLj Les opérations élémentaires sont inversibles :
opération inverse Li ↔Lj Li ↔Lj Li ←λLi Li ← Lλi Li ←Li+λLj Li ←Li−λLj
Si l’on transforme un système à l’aide d’une opération élementaire, on obtient un système équivalent, c’est-à-dire qui possède les mêmes solutions.
2.3 Algorithme du pivot de Gauss
L’idée principale est de «trianguler» (plus précisément d’échelonner en ligne) le système, en utilisant des opérations élémentaires. En effet, on pourra transformer tout système linéaire en un système où les coefficients «sous-diagonaux» sont nuls. Traitons les exemples suivants :
1.
3x + y + 2z = 1
x + 2y + 3z = 2
2x + 3y + z = 0
On trouve une unique solution, le point (−16 ,−16 ,56).
2.
x + y + z + t = 1
x + 2y + 2z + 4t = 2
x + 3y + 3z + 7t = 3
On trouve comme solutions le plan de R4 dirigé par les vecteurs −→u(2,−3,0,1) et −→v (0,1,−1,0) et passant par le point M(0,1,0,0).
3. En revanche le système suivant n’a pas de solutions, on dit qu’il est incompatible.
x + y + z + t = 1
x + 2y + 2z + 4t = 2
x + 3y + 3z + 7t = 4
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3 Structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire
3.1 Structure d’espace affine de l’ensemble des solutions
Définition 1 (Combinaison linéaire de solutions) Si x = (x1, . . . , xp) et y = (y1, . . . , yp) sont deux points deRp, et si λ est un réel, on pose :
x+y= (x1 +y1, . . . , xp+yp) et λx= (λx1, . . . , λxp).
On dit que l’ensembleRpmuni de cette addition et de cette multiplication par un réel est un espace vectoriel.
Exemple : dans R4, six= (1,0,2,3) et y = (1,1,1,1), alors 3x−2y= (1,−2,4,7).
Remarque : cette notion de combinaison linéaire coïncide avec celle des matrices.
Proposition 2 Soit (S) : AX = B un système linéaire de n équations à p inconnues. On note (H) le système homogène associé AX = 0.
• Si X et Y sont deux solutions du système homogène (H). Alors toute combinaison linéaire de X et Y est encore une solution de (H).
• On suppose que (S)admet une solution particulière Xp. Alors, on obtient toutes les solutions de (S) en ajoutant à Xp toutes les solutions de (H)le système homogène associé. On dit que l’ensemble des solutions de (S) est un sous-espace affine de Rp passant par le point Xp et dirigé par l’ensemble des solutions de (H).
Remarque : en particulier, si un système linéaire homogène possède une solution X non nulle, alors il en admet une infinité car tous les vecteurs proportionnels à X sont encore solution.
3.2 Taille de l’espace des solutions
Observons ces 4 exemples de systèmes à 4 inconnues notées x, y, z, t.
(S1) :n x+y= 0 (S2) :
( x+y= 0
y+t = 0 (S3) :
x+y= 0 y+t = 0 t= 0
(S4) :
x+y = 0 y+t= 0 t= 0 y= 0
Le système (S1) est constitué d’une seule équation (contrainte). Les solutions vivent dans R4 (4 degrés de liberté) et sont soumises à une seule contrainte. Elles perdent un degré de liberté et il leur en reste donc trois. Les solutions de (S1) sont les combinaisons linéaires des trois vecteurs (−1,1,0,0), (0,0,1,0) et (0,0,0,1).
Le système (S2) est constitué de deux équations (contraintes). Les solutions perdent cette fois-ci deux degré de liberté, il leur en reste deux. Les solutions de (S2) sont les combinaisons linéaires des deux vecteurs (−1,1,0,0), (0,1,0,−1).
Le système (S3) est constitué de trois équations (contraintes). Les solutions sont proportionnelles au vecteur (0,0,1,0). On a perdu trois degrés de liberté.
Le système (S4) est constitué de quatre équations (contraintes). Les solutions sont proportionnelles au vecteur (0,0,1,0). Malgré les quatre équations, on n’a perdu que trois degrés de liberté.
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-2021 4 Morale : d’un point de vue plus «dynamique», résoudre un système linéaire denéquations àpinconnues, revient à trouver des points de Rp soumis à n contraintes (représentées par les n équations). Chaque équation peut «potentiellement» faire perdre un degré de liberté à nos points de Rp qui ont au départ p degrés de liberté car vivant dans un espace de dimension p.
Le résultat fondamental suivant apparaît alors assez naturel :
Proposition 3 (Proposition fondamentale) Soit (S) un système linéaire qui comporte plus d’incon- nues que d’équations. Si (S) possède des solutions, alors il en possède une infinité.
Preuve : On note AX =B le système linéaire (S). Comme il admet au moins une solution, on sait que toutes ses solutions s’obtiennent en ajoutant les solutions du système homogène associée AX = 0. Pour prouver que (S) admet une infinité de solutions, il suffit donc de prouver que le système homogène associé admet une infinité de solutions. Pour cela nous allons prouver par récurrence surn, la propriétéHR(n) :«
un système linéaire homogène den équations etpinconnues avecp > npossède une infinité de solutions».
HR(1) est vraie car s’il y a une seule équation, (S) est un hyperplan donc contient une infinité de points.
Supposons HR(n−1) vraie avec n > 2. Soit (S) un système homogène à n équations et p inconnues avec p > n. La première colonne de la matrice A de coefficients ai,j du système est non nulle car sinon, il y aurait seulement p−1 inconnues. Quitte à permuter les lignes de A, on peut donc supposer que le coefficient a1,1 est non nul. On effectue alors l’opération L1 ← aL1
1,1, et on obtient donc que a1,1 = 1. On effectue alors successivement les opérations :L2 ←L2−a2,1L1,L3 ←L3−a3,1L1, ...,Ln ←Ln−an,1L1. La matrice obtenue est donc une matrice bloc de la forme 1 ⋆
0 A′
!
. Le «sous-système» (S′) : A′X = 0 est un système linéaire homogène dep−1 inconnues etn−1 équations avecp−1> n−1. Ainsi d’aprèsHR(n−1), il admet une infinité de solutions, par exemple s′ = (s2, . . . , sp). Si on note 1, a2, a3, . . . , ap les coefficients de la première ligne de la matrice 1 ⋆
0 A′
!
, on remarque que lep-uplets = (−(a2s2+. . .+apsp), s2, . . . , sp) est une solution de (S). On fabrique ainsi une infinité de solutions pour le système (S). Ainsi HR(n) est vraie.
Remarques :
• Conséquence : un système linéaire homogène qui possède plus d’inconnues que d’équations possède toujours une infinité de solutions (en effet, il contient toujours la solution nulle).
• attention, il se peut que le système ne possède pas de solutions, comme par exemple : (S)
( x+y+z = 0 x+y+z = 1
