MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit A la matrice réelle d'ordre n dont tous les éléments sont égaux à 1 sauf les éléments diagonaux qui sont nuls.
1. Pour λ réel, calculer det(A − λI n ). Préciser les valeurs de λ annulant cette expression.
2. Montrer que A est inversible, calculer son inverse.
3. Soit B la matrice réelle d'ordre n qui ne contient que des 1, montrer que
∀k ∈ Z, A k = (−1) k I n + (n − 1) k − (−1) k
n B
Corrigé
1. Pour calculer le déterminant de la matrice
A − λI n =
−λ 1 · · · 1
1 ... ...
... ... 1
1 · · · 1 −λ
on remarque que chaque colonne est la somme de la colonne xée C =
1 ...
1
et de C i = −(λ + 1)E i où E i est la colonne dont tous les termes sont nuls sauf celui de la i eme ` ligne qui vaut 1. En développant par multilinéarité on obtient une somme de 2 n déterminants. Tous ceux où gure deux fois C sont nuls ; il n'en reste plus que n + 1 .
det(A − λI n ) = det(C 1 , · · · , C n ) +
n
X
i=1
det(C 1 , · · · , C, · · · , C n )
= (−1) n (λ + 1) n + n(−1) n−1 (λ + 1) n−1
= (−1) n (λ + 1) n−1 (λ − n + 1) L'ensemble des racines de ce polynôme est donc {−1, n − 1}
2. La matrice A est inversible car d'après le calcul précédent det A = (−1) n (1 − n).
Pour calculer l'inverse de A, on va exprimer les colonnes E i en fonction des colonnes C j (A) .
On remarque d'abord que C i = C − E i . D'autre part, en sommant toutes les colonnes, on obtient
C 1 (A) + · · · + C n (A) = (n − 1)C d'où
C = 1
n − 1 (C 1 (A) + · · · + C n (A))
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aalglin5MPSI B 29 juin 2019
et
E i = 1
n − 1 C 1 (A) + · · · + 1
n − 1 C i−1 (A) +( 1
n − 1 − 1)C i (A) + 1
n − 1 C i+1 (A) + · · · 1
n − 1 C n (A) On en déduit
A −1 = 1 n − 1
2 − n 1 · · · 1
1 ... ...
... ... 1
1 · · · 1 2 − n
3. Remarquons que A et A −1 (d'après la formule précédente) s'écrivent encore A −1 = 1
n − 1 B − I, A = B − I
Ce qui est la formule proposée par l'énoncé pour k = 1 ou −1 . On pourrait tenter un raisonnement par récurrence. J'utiliserai plutot la formule du binôme exploitant le fait que A et B commutent et que B k = n k−1 B pour k entier naturel non nul.
Pour tout k dans N ∗ A k = (−1) k I n +
k
X
i=1
C k i (−I n ) k−i B i = (−1) k I n +
k
X
i=1
C k i (−1) k−i n i−1
| {z }
=
1n((n−1)
k−(−1)
k)
B
d'où la formule demandée pour k ≥ 0 .
Pour les puissances négatives posons l = −k ∈ N ∗ A k = (−1) l I n +
l
X
i=1
C l i (−I n ) l−i ( 1 n − 1 B) i
= (−1) l I n +
l
X
i=1
C l i (−1) l−i n i−1 (n − 1) i B
l
X
i=1
C l i (−1) l−i n i−1
(n − 1) i = 1 n
( n
n − 1 − 1) l − (−1) l
= 1
n (n − 1) k − (−1) k
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